렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2015년 4월 5일 (일) 03:36 판
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개요

렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분1.png

  • 극좌표계에서 방정식 \(r^2=\cos2\theta\) 로 주어진 곡선을 베르누이의 렘니스케이트 곡선이라 부름.
  • 카테시안 좌표계에서는 \((x^2 + y^2)^2=x^2 - y^2\)로 주어진다


렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이와 타원적분

정리

렘니스케이트 곡선의 둘레의 길이 \(L\)은 타원적분으로 표현되며 다음이 성립한다 \[L=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt{2}})=5.2441\cdots\] 여기서 $K$는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind) $$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.$$ 또한 다음이 성립한다 \[L=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}\] 여기서 $B$는 오일러 베타적분(베타함수)이고, $\Gamma$는 감마함수

증명

렘니스케이트 곡선은 \(x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta\)로 매개화되며, 다음을 확인할 수 있다 $$ r'(\theta)=-\frac{\sin 2\theta}{r(\theta)} $$ 매개화를 이용하여, 둘레의 길이를 계산하면 다음을 얻는다 \[L=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{r'(\theta)^2+r(\theta)^2}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{\frac{\sin^2 2\theta}{r^2(\theta)}+r^2(\theta)}\,d\theta=4\int_{0}^{\pi/4}\frac{1}{\sqrt{\cos 2\theta}}\,d\theta\] 이 때, \(\cos 2\theta=\cos^2{\phi}\) 를 이용하여 치환하면, \[d\theta=\frac{\sin\phi\cos\phi}{\sqrt{1-\cos^4\phi}}\,d\phi=\frac{\cos\phi}{\sqrt{1+\cos^2\phi}}\,d\phi,\] \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 \phi}}\,d\phi \label{eq1}\] \ref{eq1}로부터 다음을 얻는다 $$ L=2\sqrt{2}K(1/\sqrt{2}) $$ \ref{eq1}에서 \(x=\cos\phi\)로 치환하면, \[L=4\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2 \phi}}\,d\phi=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.2441\] ■


가우스의 렘니스케이트 상수

  • 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의

\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots\]


재미있는 사실

  • 곡선의 모양이 무한대 기호와 같음
  • 무한대는 그 한계가 없기에 리본을 뜻하는 'lemniscus'라는 말로 불릴 때도 있었으며, 그로인해 무한대 기호가 누운 8자 모양이 되었다는 설이 있음



역사

  • 1684 베르누이 'Acta Eruditorum'
  • 18세기 Fagnano, Euler, and Legendre 에 의한 연구
  • 1798~1799년의 시기에 가우스는 이 곡선의 길이와 관련하여 다음과 같은 기록을 일기에 남김. (Pi-unleashed, 99p)

We have gained some very elegant details about the lemniscate, which have exceeded all expectations, and indeed using methods which open up an entirely new field. That the AGM is equal to \(\frac{\pi }{\omega}\) between 1 and \(\sqrt{2}\) we have confirmed up to the 11th decimal digit; if this is proven, then a truly new field of analysis stands before us.



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관련도서

  • Mathematics by experiment: plausible reasoning in the 21st century
    • M. Borwein and D. H. Bailey, , A K Peters, Natick, MA, 2003.


리뷰, 에세이, 강의노트

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