렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)

수학노트
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개요

렘니스케이트 사인과 코사인

  • 렘니스케이트 사인\[x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 렘니스케이트 코사인\[x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 관계식\[s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\]
  • 덧셈공식\[s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\]



렘니스케이트 타원함수

  • 렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
  • \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
  • \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는\[\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] 의 관계를 만족한다
  • 렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식(파그나노의 공식)

\[\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\]

  • \(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다\[\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\]


정리

홀수인 가우스 정수 $m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]$를 생각하자. 적당한 $A_i\in \mathbb{Z}[i]$가 존재하여 다음을 만족한다 $$ \phi(m\alpha)=i^{\epsilon}\phi\frac{\phi^{p-1}+A_1\phi^{p-5}+\cdots+A_{(p-1)/4}}{1+A_1\phi^{4}+\cdots+A_{(p-1)/4}\phi^{p-1}} \tag{1} $$ 여기서 $\epsilon\in \{0,1,2,3\}$은 $m-i^{\epsilon}\in (2)$를 만족, $\phi=\phi(\alpha)$이고, $p=a^2+b^2$.

정리 (아이젠슈타인)

홀수인 가우스 정수 $m=a+bi\in \mathbb{Z}[i]$이 소수일 때, (1)의 $A_1,\cdots, A_{(p-1)/4}$는 $m$으로 나누어진다.


렘니스케이트 곡선의 등분

  • 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
  • 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식으로부터 유도할 수 있다


3등분점

  • 타원함수의 변환

\[\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8},\, \phi:=\phi(\alpha)\]

  • 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy1.gif

  • 세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다\[\left(0,0\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]

5등분점

  • 타원함수의 변환

$$ \phi(5\alpha)=\frac{\phi \left(5-62 \phi ^4-105 \phi ^8+300 \phi ^{12}-125 \phi ^{16}+50 \phi ^{20}+\phi ^{24}\right)}{1+50 \phi ^4-125 \phi ^8+300 \phi ^{12}-105 \phi ^{16}-62 \phi ^{20}+5 \phi ^{24}},\, \phi:=\phi(\alpha) $$ 렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy2.gif

\[\left(\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1+\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}},\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1-\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}}\right)\]

 

 

역사



메모


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  • lemniscatomy
  • cyclotomy

 

 

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관련논문

  • N.H. Abel (1827–28), Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal f.d. reine & angew. Math. 2, 101–181, 3, 160–190 [ = OEuvres compl`etes (Sylow, Lie, ed.s), vol. I, pp. 263–388]