"로그감마 함수"의 두 판 사이의 차이

2010년 5월 27일 (목) 19:41 판

Lerch의 공식 : 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)의 미분
\(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)

Binet's second expression
\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

쿰머 (1847)
\(\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} \)

\(\int_{0}^{1}\log\Gamma(x)\,dx=\log\sqrt{2\pi}\)

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	<h5>쿰머의 푸리에 급수</h5>		<h5>쿰머의 푸리에 급수</h5>

−	* 쿰머 (1847)<br><math>\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx~~</math><br><math>~~\~~log~~\~~Gamma~~(~~x)=\log\sqrt{2\pi}-~~\frac{1}{2}\log(2\~~sin~~\pi ~~x)+~~\frac{1}{2}~~(\gamma+2~~\log\~~sqrt{2~~\pi~~})(1-2x~~)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx</math><br>	+	* 쿰머 (1847)<br><math>\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray} </math><br>
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