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| − | * 적분으로 정의되는 함수:<math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx</math | + | * 적분으로 정의되는 함수:<math>\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx</math> |
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| − | * 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조) | + | * 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 ([[부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)]] 참조) (정리 ) 리우빌, 1835:<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면, (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다. |
| − | * 로그적분에의 적용 | + | * 로그적분에의 적용 (증명):<math>\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\log x</math> 리우빌의 정리에 의하여, 미분방정식 <math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>를 만족시키는 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하지 않음을 보이면 된다. 먼저 유리함수 <math>R(x)</math>는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 <math>p(x), q(x)</math> (<math>q(x)</math>는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식 <math>R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> 로 쓸 수 있다. :<math>q(z)</math>가 <math>z=z_0</math>에서 복소해를 갖는다고 하고, <math>{\mu}\geq 1</math>를 그 multiplicity로 두자. <math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}</math>, <math>R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math> 이다.:<math>z=z_0</math> 근방에서 <math>R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}</math>이고, <math>\frac{1}{z}</math> 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, :<math>\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)</math>에 모순이다. ■ |
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] |
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | * [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교] | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral | * http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=logarithmic+integral | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=logarithmic+integral | ||
| − | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] |
** http://dlmf.nist.gov/6.2 | ** http://dlmf.nist.gov/6.2 | ||
| − | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
2020년 11월 16일 (월) 07:33 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 적분으로 정의되는 함수\[\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx\]
- 소수정리
- 초등함수로 표현할 수 없다
로그적분의 초등함수 표현
- 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조) (정리 ) 리우빌, 1835\[f(x), g(x)\] 는 유리함수이면, (단, \(g(x)\) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다. (i)\(\int f(x)e^{g(x)} \,dx\) 는 초등함수이다. (ii) 유리함수 \(R(x)\)가 존재하여 \(f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)\) 를 만족시킨다.
- 로그적분에의 적용 (증명)\[\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt\], \(t=\log x\) 리우빌의 정리에 의하여, 미분방정식 \(\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\)를 만족시키는 유리함수 \(R(x)\)가 존재하지 않음을 보이면 된다. 먼저 유리함수 \(R(x)\)는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 \(p(x), q(x)\) (\(q(x)\)는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식 \(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) 로 쓸 수 있다. \[q(z)\]가 \(z=z_0\)에서 복소해를 갖는다고 하고, \({\mu}\geq 1\)를 그 multiplicity로 두자. \(z=z_0\) 근방에서 \(R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}\), \(R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\) 이다.\[z=z_0\] 근방에서 \(R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}\)이고, \(\frac{1}{z}\) 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, \[\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)\]에 모순이다. ■
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=logarithmic+integral
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences