로그 함수

개요

• 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
  
• 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
  
• 지수함수의 역함수이다
  

 

 

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문

• \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
  100000 의 로그 = 5
  10000000 의 로그 = 7
  
• 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
  가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
  따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)
  

 

 

로그함수

• 양수 a>0에 대하여, \(x =a^y\) 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의\[y = \log_a (x)\]
  
• 이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
  
• 성질\[\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)\]\[\log_a (1)=0\]
  

 

 

넓이와 로그

• 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
   \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
  
• 성질\[L(1)=0\]\[L(xy)=L(x)+L(y)\]
  

(증명)

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*)  \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립  ■

 

 

자연로그

• 급수 \(|z|<1\) 일 때,\[-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots\]
  

 

 

복소로그함수

• 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
  

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

• 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
  
• 예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해
  

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

• 복소로그함수 항목에서 자세히 다룸

 

 

응용

• 로그함수와 현실에서의 응용

 

 

역사

• 1614년 네이피어가 로그를 고안
• http://books.google.de/books?id=0w4-WNgKEokC&pg=PA885&lpg=PA885&dq=East+India+Company+edward+wright+logarithm+table&source=bl&ots=Y01qieNwxw&sig=d-Vyfz-f4cp480xzJWQDgGfjRPk&hl=en&sa=X&ei=GcXDUKORNITXtQauwoDABw&ved=0CFMQ6AEwBg#v=onepage&q=East%20India%20Company%20edward%20wright%20logarithm%20table&f=false
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=logarithm

• 수학사 연표
  

 

 

 

메모

• http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448
• Logarithms: The Early History of a Familiar Function

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
• http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • Chapter 4 Elementary Functions

 

 

관련된 항목들

• 자연상수 e
  
• 벤포드의 법칙
  
• 디리클레 unit 정리
  

 

 

 

 

관련기사

• [신성택 칼럼제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미]
  
  • 뉴스한국, 2009-05-27 
• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=로그함수
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=상용로그