"로그 함수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
지수함수의 역함수이다

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문

\(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1 100000 의 로그 = 5 10000000 의 로그 = 7
좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것 가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12 따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)

로그함수

양수 a>0에 대하여, \(x =a^y\) 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의\[y = \log_a (x)\]
이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
성질\[\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)\]\[\log_a (1)=0\]

넓이와 로그

반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자 \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
성질\[L(1)=0\]\[L(xy)=L(x)+L(y)\]

증명

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*) \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립 ■

자연로그

급수 \(|z|<1\) 일 때,\[-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots\]

복소로그함수

복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)

복소로그함수 항목에서 자세히 다룸

응용

로그함수와 현실에서의 응용

역사

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZHViU093S1E0a3c/edit

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q11197

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'logarithm'}]
[{'LEMMA': 'log'}]
[{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LEMMA': 'function'}]
[{'LOWER': 'logarithm'}, {'LEMMA': 'function'}]
[{'LEMMA': 'lg'}]
[{'LEMMA': 'logarithms'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-빛의 밝기 lux
+==개요==
-소리의 크기 decima
+*  수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
+*  곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
+*  지수함수의 역함수이다
+==초딩도 이해할 수 있는 로그 입문==
+* <math>a</math>의 (상용) 로그 = <math>a</math>의 자리수 - 1 100000 의 로그 = 5 10000000 의 로그 = 7
+*  좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것 가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12 따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)
+==로그함수==
+*  양수 a>0에 대하여, <math>x =a^y</math> 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의:<math>y = \log_a (x)</math>
+*  이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
+*  성질:<math>\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)</math>:<math>\log_a (1)=0</math>
+==넓이와 로그==
+*  반비례곡선 아래의 넓이로 <math>x>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자  <math>L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}</math>
+*  성질:<math>L(1)=0</math>:<math>L(xy)=L(x)+L(y)</math>
+;증명
+실수 <math>a,b,\lambda</math>가 양수라고 가정.
+치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.
+(*)  <math>\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}</math>
+<math>L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}</math>
+마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.
+따라서 <math>L(xy)=L(x)+L(y)</math>가 성립  ■
+==자연로그==
+*  급수 <math>|z|<1</math> 일 때,:<math>-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots</math>
+==복소로그함수==
+*  복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의
+<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>.
+*  하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
+*  예를 들자면, <math>z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}</math>에 대해
+<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math>
+* [[복소로그함수]] 항목에서 자세히 다룸
+==응용==
+* [[로그함수와 현실에서의 활용|로그함수와 현실에서의 응용]]
+==역사==
+* 1614년 네이피어가 로그를 고안
+* http://books.google.de/books?id=0w4-WNgKEokC&pg=PA885&lpg=PA885&dq=East+India+Company+edward+wright+logarithm+table&source=bl&ots=Y01qieNwxw&sig=d-Vyfz-f4cp480xzJWQDgGfjRPk&hl=en&sa=X&ei=GcXDUKORNITXtQauwoDABw&ved=0CFMQ6AEwBg#v=onepage&q=East%20India%20Company%20edward%20wright%20logarithm%20table&f=false
+* [[수학사 연표]]
+==메모==
+* http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448
+* [http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3495&bodyId=3832 Logarithms: The Early History of a Familiar Function]
+==관련된 항목들==
+* [[자연상수 e]]
+* [[벤포드의 법칙]]
+* [[디리클레 unit 정리]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZHViU093S1E0a3c/edit
+==사전 형태의 자료==
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
+* http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
+* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+** [http://dlmf.nist.gov/4 Chapter 4 Elementary Functions]
+==관련기사==
+* [http://www.newshankuk.com/news/news_view.asp?articleno=j2009052710341896997 [신성택 칼럼]제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미],뉴스한국, 2009-05-27
+[[분류:고교수학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q11197 Q11197]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'logarithm'}]
+* [{'LEMMA': 'log'}]
+* [{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LEMMA': 'function'}]
+* [{'LOWER': 'logarithm'}, {'LEMMA': 'function'}]
+* [{'LEMMA': 'lg'}]
+* [{'LEMMA': 'logarithms'}]