"로그 함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 13개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | * | + | * 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화 |
| + | * 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질 | ||
| + | * 지수함수의 역함수이다 | ||
| + | |||
| − | + | ==초딩도 이해할 수 있는 로그 입문== | |
| − | + | * <math>a</math>의 (상용) 로그 = <math>a</math>의 자리수 - 1 100000 의 로그 = 5 10000000 의 로그 = 7 | |
| + | * 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것 가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12 따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개) | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==로그함수== | |
| − | + | * 양수 a>0에 대하여, <math>x =a^y</math> 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의:<math>y = \log_a (x)</math> | |
| + | * 이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다 | ||
| + | * 성질:<math>\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)</math>:<math>\log_a (1)=0</math> | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==넓이와 로그== | |
| − | + | * 반비례곡선 아래의 넓이로 <math>x>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자 <math>L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}</math> | |
| + | * 성질:<math>L(1)=0</math>:<math>L(xy)=L(x)+L(y)</math> | ||
| − | + | ;증명 | |
| − | + | 실수 <math>a,b,\lambda</math>가 양수라고 가정. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다. | 치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다. | ||
| − | (*) | + | (*) <math>\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}</math> |
<math>L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}</math> | <math>L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}</math> | ||
| − | 마지막 | + | 마지막 등식에서 (*)를 사용하였다. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | 따라서 <math>L(xy)=L(x)+L(y)</math>가 성립 ■ | |
| − | + | ==자연로그== | |
| − | * 급수 <math>|z|<1</math> 일 때, | + | * 급수 <math>|z|<1</math> 일 때,:<math>-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots</math> |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==복소로그함수== | |
| − | * 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> | + | * 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의 |
<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>. | <math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>. | ||
| − | * 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function) | + | * 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function) |
| − | * 예를 들자면, <math>z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}</math>에 대해 | + | * 예를 들자면, <math>z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}</math>에 대해 |
<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math> | <math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math> | ||
| 80번째 줄: | 62번째 줄: | ||
* [[복소로그함수]] 항목에서 자세히 다룸 | * [[복소로그함수]] 항목에서 자세히 다룸 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==응용== | |
* [[로그함수와 현실에서의 활용|로그함수와 현실에서의 응용]] | * [[로그함수와 현실에서의 활용|로그함수와 현실에서의 응용]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
* 1614년 네이피어가 로그를 고안 | * 1614년 네이피어가 로그를 고안 | ||
| − | * http:// | + | * http://books.google.de/books?id=0w4-WNgKEokC&pg=PA885&lpg=PA885&dq=East+India+Company+edward+wright+logarithm+table&source=bl&ots=Y01qieNwxw&sig=d-Vyfz-f4cp480xzJWQDgGfjRPk&hl=en&sa=X&ei=GcXDUKORNITXtQauwoDABw&ved=0CFMQ6AEwBg#v=onepage&q=East%20India%20Company%20edward%20wright%20logarithm%20table&f=false |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | * [[ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==메모== | |
* http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448 | * http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448 | ||
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3495&bodyId=3832 Logarithms: The Early History of a Familiar Function] | * [http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3495&bodyId=3832 Logarithms: The Early History of a Familiar Function] | ||
| − | |||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[자연상수 e]] | |
| + | * [[벤포드의 법칙]] | ||
| + | * [[디리클레 unit 정리]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZHViU093S1E0a3c/edit | ||
| + | |||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/로그 | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm | * http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm | * http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm | ||
| − | + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | |
| − | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
** [http://dlmf.nist.gov/4 Chapter 4 Elementary Functions] | ** [http://dlmf.nist.gov/4 Chapter 4 Elementary Functions] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==관련기사== | |
| − | + | * [http://www.newshankuk.com/news/news_view.asp?articleno=j2009052710341896997 [신성택 칼럼]제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미],뉴스한국, 2009-05-27 | |
| − | + | [[분류:고교수학]] | |
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | * | + | ===위키데이터=== |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q11197 Q11197] |
| − | * | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| + | * [{'LEMMA': 'logarithm'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'log'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LEMMA': 'function'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'logarithm'}, {'LEMMA': 'function'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'lg'}] | ||
| + | * [{'LEMMA': 'logarithms'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판
개요
- 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
- 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
- 지수함수의 역함수이다
초딩도 이해할 수 있는 로그 입문
- \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1 100000 의 로그 = 5 10000000 의 로그 = 7
- 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것 가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12 따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)
로그함수
- 양수 a>0에 대하여, \(x =a^y\) 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의\[y = \log_a (x)\]
- 이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
- 성질\[\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)\]\[\log_a (1)=0\]
넓이와 로그
- 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자 \(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
- 성질\[L(1)=0\]\[L(xy)=L(x)+L(y)\]
- 증명
실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.
치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.
(*) \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)
\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)
마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.
따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립 ■
자연로그
- 급수 \(|z|<1\) 일 때,\[-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots\]
복소로그함수
- 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).
- 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
- 예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해
\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)
- 복소로그함수 항목에서 자세히 다룸
응용
역사
- 1614년 네이피어가 로그를 고안
- http://books.google.de/books?id=0w4-WNgKEokC&pg=PA885&lpg=PA885&dq=East+India+Company+edward+wright+logarithm+table&source=bl&ots=Y01qieNwxw&sig=d-Vyfz-f4cp480xzJWQDgGfjRPk&hl=en&sa=X&ei=GcXDUKORNITXtQauwoDABw&ved=0CFMQ6AEwBg#v=onepage&q=East%20India%20Company%20edward%20wright%20logarithm%20table&f=false
- 수학사 연표
메모
- http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448
- Logarithms: The Early History of a Familiar Function
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
- http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
- http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련기사
- [신성택 칼럼제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미],뉴스한국, 2009-05-27
메타데이터
위키데이터
- ID : Q11197
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'logarithm'}]
- [{'LEMMA': 'log'}]
- [{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LEMMA': 'function'}]
- [{'LOWER': 'logarithm'}, {'LEMMA': 'function'}]
- [{'LEMMA': 'lg'}]
- [{'LEMMA': 'logarithms'}]