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| + | * 그게 선생님이 하셔야할 부분이죠 ㅎㅎ | ||
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* 성질<br><math>L(1)=0</math><br><math>L(xy)=L(x)+L(y)</math><br> | * 성질<br><math>L(1)=0</math><br><math>L(xy)=L(x)+L(y)</math><br> | ||
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| − | 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 | + | * 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의<br> |
<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>. | <math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>. | ||
| − | 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function) | + | * 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)<br> |
| − | + | * 예를 들자면, <math>z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}</math>에 대해<br> | |
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<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math> | <math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math> | ||
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2010년 1월 31일 (일) 03:35 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
- 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
- 지수함수의 역함수이다
초딩도 이해할 수 있는 로그 입문
- \(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
100000 의 로그 = 5
10000000 의 로그 = 7 - 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)
넓이와 로그
- 반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
\(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\) - 그게 선생님이 하셔야할 부분이죠 ㅎㅎ
- 교육이란 그런것이니까요..
- 성질
\(L(1)=0\)
\(L(xy)=L(x)+L(y)\)
(증명)
실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.
치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.
(*) \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)
\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)
마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.
따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립 ■
복소로그함수
- 복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의
\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).
- 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
- 예를 들자면, \(z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}\)에 대해
\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)
- 복소로그함수 항목에서 자세히 다룸
응용
- 빛의 밝기 lux
- 소리의 크기 dB
- 산성알칼리성 pH
- 별의 밝기
- 지진의 세기
- 엔트로피
- 그랜드피아노
- 팬플루트
- 하프 등에서 그래프
재미있는 사실
역사
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관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
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참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
- http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
- http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- [신성택 칼럼제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미]
- 뉴스한국, 2009-05-27
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=로그함수
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=상용로그
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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