로그 함수

개요

\(a\)의 (상용) 로그 = \(a\)의 자리수 - 1
100000 의 로그 = 5
10000000 의 로그 = 7
좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것
가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12
따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)

반비례곡선 아래의 넓이로 \(x>0\)에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자
\(L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}\)
성질\[L(1)=0\]\[L(xy)=L(x)+L(y)\]

(증명)

실수 \(a,b,\lambda\)가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*) \(\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}\)

\(L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}\)

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 \(L(xy)=L(x)+L(y)\)가 성립 ■

급수 \(|z|<1\) 일 때,\[-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots\]

\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)