로저스 다이로그 함수 (Rogers dilogarithm)

개요

• 다이로그 함수(dilogarithm) 의 변종
• 다양한 함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity) 을 만족시킴

정의

• \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의

\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]

• \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
• \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)

함수의 그래프

• \(x\in (0,1)\) 에서의 그래프

• 함수 방정식을 이용한 확장

반사공식(오일러)

• \(0\leq x \leq 1\) 일 때\[L(x)+L(1-x)=L(1)\]

5항 관계식

• \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \[L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]

special values

\(L(0)=0\)

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

• non-unitary \(c(2,k+2)\) minimal models

\[\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}\]

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGMwYzhkZjItMmY5Ny00NDI4LTgxYjktN2E2NDlkNmNjMjAz&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• 매스매티카 파일 목록

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/

관련논문

• Algebraic Dilogarithm Identities
  • Basil Gordon and Richard J. Mcintosh, 1997
• Dilogarithm identities
  • Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
• Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras
  • A. N. Kirillov, 1989

관련도서

• Harold Scott Macdonald Coxeter The beauty of geometry: twelve essays
  • chapter 1