르장드르 다항식(associated Legendre polynomials)

수학노트
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개요

  • 미분방정식\[(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,\]
  • 미분방정식의 해\[P_\ell^{m}(x) = (-1)^m\ (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^m}{dx^m}\left(P_\ell(x)\right)\,\] 여기서 \(P_\ell(x)\) 은 르장드르 다항식
  • l과 m이 일반적인 복소수인 경우는 http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_function 참조




예: l=2 인 경우

\(P_{2}^{0}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\)

\(P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^2)^{1/2}\)

\(P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)\)




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