"리대수 지표의 행렬식 표현"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)</math> | :<math>\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)</math> | ||
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| + | * 다른 고전 리대수에 대해서도 성립 | ||
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| + | * <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, $\lambda_i$는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴 | ||
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| + | \big(x_i^{n-j+1/2}-x_i^{-(n-j+1/2)}\big)}=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
\big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)} | \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)} | ||
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| + | \Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) | ||
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| + | ===$C_n$=== | ||
| + | * <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, $\lambda_i$는 모두 정수 | ||
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| + | \operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
| + | \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
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2015년 9월 10일 (목) 23:09 판
개요
- 자연수 $n$을 고정
- 분할 \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
- 슈르 다항식(Schur polynomial)은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다
\[s_{\lambda} = \frac{\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})}{\Delta(x)} \label{van}\]
- 여기서 분모는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
\[\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)\]
- 슈르 다항식은 $gl_n(\mathbb{C})$의 표현의 지표 일반 선형군의 표현론
- 다른 고전 리대수에 대해서도 성립
일반화
$B_n$
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), $\lambda_i$는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴
$$ \operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1/2}-x_i^{-(n-j+1/2)}\big)}=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)} {\Delta_{\mathrm{B}}(x)} $$ 여기서 $$ \Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) $$
$C_n$
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), $\lambda_i$는 모두 정수
$$ \operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1}-x_i^{-(n-j+1)}\big)} =\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)} $$ 여기서 $$ \Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1). $$
리틀우드 항등식
- $m,n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $n\geq 1$
- typc B (Macdonald)
$$ (x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}} s_{\lambda}(x) $$
- type C (Désarménien-Proctor-Stembridge)
$$ (x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}} s_{\lambda}(x) $$
메모
- Krattenthaler, C. “Identities for Classical Group Characters of Nearly Rectangular Shape.” Journal of Algebra 209, no. 1 (1998): 1–64. doi:10.1006/jabr.1998.7531. http://arxiv.org/abs/math/9808118
- Okada, Soichi. “Applications of Minor Summation Formulas to Rectangular-Shaped Representations of Classical Groups.” Journal of Algebra 205, no. 2 (1998): 337–67. doi:10.1006/jabr.1997.7408.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- “Symmetric Functions and Hall Polynomials (Oxford Mathematical Monographs): I. G. Macdonald: 9780198504504: Amazon.com: Books.” http://www.amazon.com/Symmetric-Functions-Polynomials-Mathematical-Monographs/dp/0198504500.
관련논문
- Fulmek, Markus, and Christian Krattenthaler. “Lattice Path Proofs for Determinantal Formulas for Symplectic and Orthogonal Characters.” Journal of Combinatorial Theory. Series A 77, no. 1 (1997): 3–50. doi:10.1006/jcta.1996.2711.
- Hamel, A. M. “Determinantal Forms for Symplectic and Orthogonal Schur Functions.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 49, no. 2 (1997): 263–82. doi:10.4153/CJM-1997-013-5.