"리대수 지표의 행렬식 표현"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 10:54 기준 최신판

개요

자연수 \(n\)을 고정
분할 \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
슈르 다항식(Schur polynomial)은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다

\[s_{\lambda} = \frac{\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})}{\Delta(x)} \label{van}\]

여기서 분모는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다

\[\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)\]

슈르 다항식은 \(gl_n(\mathbb{C})\)의 표현의 지표 일반 선형군의 표현론
다른 고전 리대수에 대해서도 성립

일반화

\(B_n\)

\(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴

\[ \operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1/2}-x_i^{-(n-j+1/2)}\big)}=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)} {\Delta_{\mathrm{B}}(x)} \] 여기서 \[ \Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) \]

\(C_n\)

\(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수

\[ \operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1}-x_i^{-(n-j+1)}\big)} =\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)} \] 여기서 \[ \Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1). \]

\(D_n\)

\(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq |\lambda_n|\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴

\[ \operatorname{so}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j}+x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)+\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j}-x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j}+x_i^{-(n-j)}\big)} \]

분할과 무게

각 경우의 분할은 다음과 같은 방식으로 리대수 기약표현의 무게에 대응된다

\[ \begin{align} &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+2\lambda_n\omega_n, & B_n, \\ &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+\lambda_n\omega_n, & C_n, \\ &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+ (\lambda_{n-1}+\lambda_n)\omega_n, & D_n, \end{align} \]

리틀우드 항등식

\(m,n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(n\geq 1\)
typc B (Macdonald)

\[ (x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}} s_{\lambda}(x) \]

type C (Désarménien-Proctor-Stembridge)

\[ (x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}} s_{\lambda}(x) \]

메모

Krattenthaler, C. “Identities for Classical Group Characters of Nearly Rectangular Shape.” Journal of Algebra 209, no. 1 (1998): 1–64. doi:10.1006/jabr.1998.7531. http://arxiv.org/abs/math/9808118
Okada, Soichi. “Applications of Minor Summation Formulas to Rectangular-Shaped Representations of Classical Groups.” Journal of Algebra 205, no. 2 (1998): 337–67. doi:10.1006/jabr.1997.7408.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbFVlaTZNbUN6cDQ/edit

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 ==개요==
-* 자연수 $n$을 고정
+* 자연수 <math>n</math>을 고정
 * 분할 <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>
 * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다
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 * 여기서 분모는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
 :<math>\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)</math>
-* 단순리대수 $B_n$과 $C_n$의 지표는 다음과 같은 행렬식으로 주어짐
+* 슈르 다항식은 <math>gl_n(\mathbb{C})</math>의 표현의 지표 [[일반 선형군의 표현론]]
-$$
+* 다른 고전 리대수에 대해서도 성립
-\begin{align}
-\operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)&=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+==일반화==
+===<math>B_n</math>===
+* <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, <math>\lambda_i</math>는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴
+:<math>
+\operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{n-j+1/2}-x_i^{-(n-j+1/2)}\big)}=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
 \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)}
-{\Delta_{\mathrm{B}}(x)}, \\
+{\Delta_{\mathrm{B}}(x)}
-\operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)&=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+</math>
+여기서
+:<math>
+\Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i)
+\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1)
+</math>
+===<math>C_n</math>===
+* <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, <math>\lambda_i</math>는 모두 정수
+:<math>
+\operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{n-j+1}-x_i^{-(n-j+1)}\big)}
+=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n}
 \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)}
-{\Delta_{\mathrm{C}}(x)}.
+</math>
-\end{align}
+여기서
-$$
+:<math>
-여기서 $\Delta_{\mathrm{B}}$ 와 $\Delta_{\mathrm{C}}$ 일반화된 반데몬드 행렬식
+\Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2)
-$$
-\begin{align*}
-\Delta_{\mathrm{B}}(x)&:=\prod_{i=1}^n (1-x_i)
-\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) \\
-\Delta_{\mathrm{C}}(x)&:=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2)
 \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1).
-\end{align*}
+</math>
-$$
+===<math>D_n</math>===
+* <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq |\lambda_n|\geq 0</math>, <math>\lambda_i</math>는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴
+:<math>
+\operatorname{so}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{\lambda_j+n-j}+x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)+\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{\lambda_j+n-j}-x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n}
+\big(x_i^{n-j}+x_i^{-(n-j)}\big)}
+</math>
+===분할과 무게===
+* 각 경우의 분할은 다음과 같은 방식으로 리대수 기약표현의 무게에 대응된다
+:<math>
+\begin{align}
+&(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+2\lambda_n\omega_n,
+& B_n,  \\
+&(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+\lambda_n\omega_n,
+& C_n,  \\
+&(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+
+(\lambda_{n-1}+\lambda_n)\omega_n,
+& D_n,
+\end{align}
+</math>
 ==리틀우드 항등식==
-\begin{align*}
+* <math>m,n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>n\geq 1</math>
-(x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)
+* typc B (Macdonald)
-&=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}}
+:<math>
-s_{\lambda}(x) \\
+(x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}}
-(x_1\cdots x_n)^m \operatorname{so}_{2n+1,(m^n)}(x)
+s_{\lambda}(x)
-&=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}}
+</math>
-s_{\lambda}(x),
+* type C (Désarménien-Proctor-Stembridge)
-\end{align*}
+:<math>
+(x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}}
+s_{\lambda}(x)
+</math>
 ==메모==
-* Krattenthaler, C. “Identities for Classical Group Characters of Nearly Rectangular Shape.” Journal of Algebra 209, no. 1 (1998): 1–64. doi:10.1006/jabr.1998.7531.
+* Krattenthaler, C. “Identities for Classical Group Characters of Nearly Rectangular Shape.” Journal of Algebra 209, no. 1 (1998): 1–64. doi:10.1006/jabr.1998.7531. http://arxiv.org/abs/math/9808118
 * Okada, Soichi. “Applications of Minor Summation Formulas to Rectangular-Shaped Representations of Classical Groups.” Journal of Algebra 205, no. 2 (1998): 337–67. doi:10.1006/jabr.1997.7408.
 ==관련된 항목들==
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbFVlaTZNbUN6cDQ/edit
+==관련도서==
+* “Symmetric Functions and Hall Polynomials (Oxford Mathematical Monographs): I. G. Macdonald: 9780198504504: Amazon.com: Books.” http://www.amazon.com/Symmetric-Functions-Polynomials-Mathematical-Monographs/dp/0198504500.

"리대수 지표의 행렬식 표현"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 10:54 기준 최신판

목차

개요

일반화

\(B_n\)

\(C_n\)

\(D_n\)

분할과 무게

리틀우드 항등식

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