"리대수 지표의 행렬식 표현"의 두 판 사이의 차이
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* 분할 <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math> | * 분할 <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math> | ||
* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다 | * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다 | ||
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* 여기서 분모는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다 | * 여기서 분모는 [[반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)]]에서 등장하는 반데몬드 다항식이다 | ||
:<math>\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)</math> | :<math>\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)</math> | ||
| − | * 슈르 다항식은 | + | * 슈르 다항식은 <math>gl_n(\mathbb{C})</math>의 표현의 지표 [[일반 선형군의 표현론]] |
* 다른 고전 리대수에 대해서도 성립 | * 다른 고전 리대수에 대해서도 성립 | ||
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| − | * <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, | + | * <math>\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0</math>, <math>\lambda_i</math>는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴 |
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\operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | \operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
\big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
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\Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) | \Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) | ||
\prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) | \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) | ||
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\big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
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\Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2) | \Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2) | ||
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\operatorname{so}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | \operatorname{so}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
\big(x_i^{\lambda_j+n-j}+x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)+\det_{1\leq i,j\leq n} | \big(x_i^{\lambda_j+n-j}+x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)+\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
\big(x_i^{\lambda_j+n-j}-x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | \big(x_i^{\lambda_j+n-j}-x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} | ||
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| + | ===분할과 무게=== | ||
| + | * 각 경우의 분할은 다음과 같은 방식으로 리대수 기약표현의 무게에 대응된다 | ||
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| + | \begin{align} | ||
| + | &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+2\lambda_n\omega_n, | ||
| + | & B_n, \\ | ||
| + | &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+\lambda_n\omega_n, | ||
| + | & C_n, \\ | ||
| + | &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+ | ||
| + | (\lambda_{n-1}+\lambda_n)\omega_n, | ||
| + | & D_n, | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
==리틀우드 항등식== | ==리틀우드 항등식== | ||
| − | * | + | * <math>m,n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>n\geq 1</math> |
* typc B (Macdonald) | * typc B (Macdonald) | ||
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(x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}} | (x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}} | ||
s_{\lambda}(x) | s_{\lambda}(x) | ||
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* type C (Désarménien-Proctor-Stembridge) | * type C (Désarménien-Proctor-Stembridge) | ||
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(x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}} | (x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}} | ||
s_{\lambda}(x) | s_{\lambda}(x) | ||
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==메모== | ==메모== | ||
2020년 11월 13일 (금) 10:54 기준 최신판
개요
- 자연수 \(n\)을 고정
- 분할 \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
- 슈르 다항식(Schur polynomial)은 다음과 같이 행렬식을 이용하여 정의된다
\[s_{\lambda} = \frac{\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})}{\Delta(x)} \label{van}\]
- 여기서 분모는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
\[\Delta(x):=\det_{1\le i,j\le n}(x_{i}^{n-j})=\prod_{1\le i<j\le n} (x_i-x_j)\]
- 슈르 다항식은 \(gl_n(\mathbb{C})\)의 표현의 지표 일반 선형군의 표현론
- 다른 고전 리대수에 대해서도 성립
일반화
\(B_n\)
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴
\[ \operatorname{so}_{2n+1,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1/2}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1/2)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1/2}-x_i^{-(n-j+1/2)}\big)}=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+\lambda_j}\big)} {\Delta_{\mathrm{B}}(x)} \] 여기서 \[ \Delta_{\mathrm{B}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1) \]
\(C_n\)
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수
\[ \operatorname{symp}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j+1}-x_i^{-(\lambda_j+n-j+1)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j+1}-x_i^{-(n-j+1)}\big)} =\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{j-1-\lambda_j}-x_i^{2n-j+1+\lambda_j}\big)} \] 여기서 \[ \Delta_{\mathrm{C}}(x)=\prod_{i=1}^n (1-x_i^2) \prod_{1\leq i<j\leq n} (x_i-x_j)(x_ix_j-1). \]
\(D_n\)
- \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq |\lambda_n|\geq 0\), \(\lambda_i\)는 모두 정수 또는 정수+1/2 꼴
\[ \operatorname{so}_{2n,\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j}+x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)+\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{\lambda_j+n-j}-x_i^{-(\lambda_j+n-j)}\big)}{\det_{1\leq i,j\leq n} \big(x_i^{n-j}+x_i^{-(n-j)}\big)} \]
분할과 무게
- 각 경우의 분할은 다음과 같은 방식으로 리대수 기약표현의 무게에 대응된다
\[ \begin{align} &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+2\lambda_n\omega_n, & B_n, \\ &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+\lambda_n\omega_n, & C_n, \\ &(\lambda_1-\lambda_2)\omega_1+\cdots+(\lambda_{n-1}-\lambda_n)\omega_{n-1}+ (\lambda_{n-1}+\lambda_n)\omega_n, & D_n, \end{align} \]
리틀우드 항등식
- \(m,n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(n\geq 1\)
- typc B (Macdonald)
\[ (x_1\cdots x_n)^{m/2} \operatorname{so}_{2n+1,(\frac{m}{2})^n}(x)=\sum_{\substack{\lambda \\[1.5pt] \lambda_1\leq m}} s_{\lambda}(x) \]
- type C (Désarménien-Proctor-Stembridge)
\[ (x_1\cdots x_n)^m \operatorname{symp}_{2n,(m^n)}(x)=\sum_{\substack{\lambda \text{ even} \\[1.5pt] \lambda_1\leq 2m}} s_{\lambda}(x) \]
메모
- Krattenthaler, C. “Identities for Classical Group Characters of Nearly Rectangular Shape.” Journal of Algebra 209, no. 1 (1998): 1–64. doi:10.1006/jabr.1998.7531. http://arxiv.org/abs/math/9808118
- Okada, Soichi. “Applications of Minor Summation Formulas to Rectangular-Shaped Representations of Classical Groups.” Journal of Algebra 205, no. 2 (1998): 337–67. doi:10.1006/jabr.1997.7408.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- “Symmetric Functions and Hall Polynomials (Oxford Mathematical Monographs): I. G. Macdonald: 9780198504504: Amazon.com: Books.” http://www.amazon.com/Symmetric-Functions-Polynomials-Mathematical-Monographs/dp/0198504500.
관련논문
- Fulmek, Markus, and Christian Krattenthaler. “Lattice Path Proofs for Determinantal Formulas for Symplectic and Orthogonal Characters.” Journal of Combinatorial Theory. Series A 77, no. 1 (1997): 3–50. doi:10.1006/jcta.1996.2711.
- Hamel, A. M. “Determinantal Forms for Symplectic and Orthogonal Schur Functions.” Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques 49, no. 2 (1997): 263–82. doi:10.4153/CJM-1997-013-5.