"리대수 g2의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이
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* <math>G_2</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^2</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | * <math>G_2</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^2</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | ||
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* 바일 벡터 <math>\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)</math> | * 바일 벡터 <math>\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)</math> | ||
==유한차원 기약 표현의 분류== | ==유한차원 기약 표현의 분류== | ||
| − | * 유한차원 기약 표현 | + | * 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립 |
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | ||
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\dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) | \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) | ||
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==기약표현의 예== | ==기약표현의 예== | ||
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | ||
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* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | ||
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* 7차원 표현 | * 7차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} | \chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
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===예2=== | ===예2=== | ||
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* 14차원 표현 | * 14차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} | \chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
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===예3=== | ===예3=== | ||
| − | * highest weight | + | * highest weight <math>\omega_1+\omega_2</math> |
* 64차원 표현 | * 64차원 표현 | ||
* weight diagram | * weight diagram | ||
2020년 11월 13일 (금) 21:37 기준 최신판
개요
- 복소수체 위의 14차원 리대수
- \(G_2\) 타입의 단순 리대수
리대수 \(\mathfrak{g}_2\)
- \(G_2\) 카르탄 행렬
\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \\ \end{array} \right) \]
- \(G_2\) 루트 시스템
\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,3 \alpha _1+\alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _1+\alpha _2,3 \alpha _1+2 \alpha _2\\,-\alpha _1,-\alpha _2,-3 \alpha _1-\alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2,-2 \alpha _1-\alpha _2,-3 \alpha _1-2 \alpha _2\right\} \]
- 바일군, 크기 12인 유한반사군
\[ \{s[],s[1],s[2],s[1,2],s[2,1],s[1,2,1],s[2,1,2],s[1,2,1,2],s[2,1,2,1],s[1,2,1,2,1],s[2,1,2,1,2],s[1,2,1,2,1,2]\} \]
- \(G_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,0)\)
- \(\alpha_2=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)
- fundamental weights
- \(\omega_1=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\)
- \(\omega_2=(0,\sqrt{3})\)
- 바일 벡터 \(\rho=(1/2, 3\sqrt{3}/2)\)
유한차원 기약 표현의 분류
- 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다
\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{120} (a+1) (b+1) (a+b+2) (a+2 b+3) (a+3 b+4) (2 a+3 b+5) \]
기약표현의 예
- 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의
\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]
- \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]\)의 원소가 된다
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조
예1
- fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
- 7차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_1}=1+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1} \]
- weight diagram
예2
- adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_2\)
- 14차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_2}=2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{x_1^3}{x_2^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2}+x_2+\frac{x_2}{x_1^3}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^3} \]
- weight diagram
예3
- highest weight \(\omega_1+\omega_2\)
- 64차원 표현
- weight diagram
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- http://www.ams.org/notices/200808/tx080800922p.pdf
- Baez, John C., and John Huerta. ‘G2 and the Rolling Ball’. arXiv:1205.2447 [math-Ph], 11 May 2012. http://arxiv.org/abs/1205.2447.