리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론

수학노트
이동: 둘러보기, 검색

개요

  • 복소수체 위의 21차원 리대수
  • $C_3$ 타입의 단순 리대수


리대수 $\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})$

  • $C_3$ 카르탄 행렬

$$ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) $$

  • $C_3$ 루트 시스템 $\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})$

$$ \Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\} $$

  • 바일군 : 크기 48인 유한반사군 콕세터 군 B3/C3
  • \(C_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
    • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
    • \(\alpha_3=(0,0,2)\)
  • fundamental weights
    • $\omega_1=(1,0,0)$
    • $\omega_2=(1,1,0)$
    • $\omega_3=(1,1,1)$
  • 바일 벡터 \(\rho=(3,2,1)\)


유한차원 기약 표현의 분류

  • 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
  • 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5) $$

기약표현의 예

  • 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$

예1

  • 벡터 표현, highest weight은 $\omega_1$
  • 6차원 표현
  • 지표

$$ \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1} $$

  • weight diagram

리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론2.png


예2

  • adjoint 표현, highest weight $2\omega_1$
  • 21차원 표현
  • 지표

$$ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3 $$

  • weight diagram

리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론3.png

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스