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| − | * L : line bundle of degree d | + | * $L$ : line bundle of degree d |
* <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : $L$의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간 | * <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : $L$의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간 | ||
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| + | * 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다 | ||
* 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다 | * 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다 | ||
:<math>h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1</math> | :<math>h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1</math> | ||
여기서 $K$는 $X$에 정의된 canonical bundle | 여기서 $K$는 $X$에 정의된 canonical bundle | ||
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| + | * $H^0(L)$ : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the $p_i$ | ||
| + | * $H^0(L^{-1}\otimes K)$ : space of holomorphic 1-forms vanishing at the $p_i$ | ||
==메모== | ==메모== | ||
* 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g | * 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g | ||
| + | * https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/RS/RiemannRoch2.pdf | ||
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| + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * Hitchin, Nigel. 2010. “The Atiyah–Singer Index Theorem.” In The Abel Prize, edited by Helge Holden and Ragni Piene, 117–152. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-01373-7_7. | ||
| + | * Raynor [https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/Raynor.pdf The Riemann-Roch theorem is a special case of the Atiyah-Singer index formula] | ||
* http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem | * http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025. | ||
| + | * Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982). | ||
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| + | [[분류:리만곡면론]] | ||
2015년 12월 21일 (월) 09:16 판
개요
- $X$ : 종수 (genus) 가 g인 컴팩트 리만곡면
- $L$ : line bundle of degree d
- \(H^{0}(L),H^{1}(L)\) : $L$의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
- $p>1$이면, $H^{p}(L)=0$
- $h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)$
- 리만-로흐 정리
\[h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1\]
- 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다
- 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다
\[h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1\] 여기서 $K$는 $X$에 정의된 canonical bundle
line bundle
- divisor $D=p_1+\cdots+p_d$, $p_1,\cdot, p_d$ distinct
- $L_D$ : line bundle
- $H^0(L)$ : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the $p_i$
- $H^0(L^{-1}\otimes K)$ : space of holomorphic 1-forms vanishing at the $p_i$
메모
- 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g
- https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/RS/RiemannRoch2.pdf
리뷰, 에세이, 강의노트
- Hitchin, Nigel. 2010. “The Atiyah–Singer Index Theorem.” In The Abel Prize, edited by Helge Holden and Ragni Piene, 117–152. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-01373-7_7.
- Raynor The Riemann-Roch theorem is a special case of the Atiyah-Singer index formula
- http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem
관련논문
- Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025.
- Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982).