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| − | * <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : | + | * <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : <math>L</math>의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간 |
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| − | * | + | * <math>h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)</math> |
* 리만-로흐 정리 | * 리만-로흐 정리 | ||
:<math>h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1</math> | :<math>h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1</math> | ||
| + | * 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다 | ||
* 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다 | * 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다 | ||
:<math>h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1</math> | :<math>h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1</math> | ||
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==line bundle== | ==line bundle== | ||
| − | * divisor | + | * divisor <math>D=p_1+\cdots+p_d</math>, <math>p_1,\cdot, p_d</math> distinct |
| − | * | + | * <math>L_D</math> : line bundle |
| − | * | + | * <math>H^0(L)</math> : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the <math>p_i</math> |
| − | * | + | * <math>H^0(L^{-1}\otimes K)</math> : space of holomorphic 1-forms vanishing at the <math>p_i</math> |
2020년 11월 16일 (월) 05:17 기준 최신판
개요
- \(X\) : 종수 (genus) 가 g인 컴팩트 리만곡면
- \(L\) : line bundle of degree d
- \(H^{0}(L),H^{1}(L)\) \[L\]의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
- \(p>1\)이면, \(H^{p}(L)=0\)
- \(h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)\)
- 리만-로흐 정리
\[h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1\]
- 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다
- 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다
\[h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1\] 여기서 \(K\)는 \(X\)에 정의된 canonical bundle
line bundle
- divisor \(D=p_1+\cdots+p_d\), \(p_1,\cdot, p_d\) distinct
- \(L_D\) : line bundle
- \(H^0(L)\) : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the \(p_i\)
- \(H^0(L^{-1}\otimes K)\) : space of holomorphic 1-forms vanishing at the \(p_i\)
메모
- 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g
- https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/RS/RiemannRoch2.pdf
리뷰, 에세이, 강의노트
- Hitchin, Nigel. 2010. “The Atiyah–Singer Index Theorem.” In The Abel Prize, edited by Helge Holden and Ragni Piene, 117–152. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-01373-7_7.
- Raynor The Riemann-Roch theorem is a special case of the Atiyah-Singer index formula
- http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem
관련논문
- Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025.
- Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982).