리만-로흐 정리

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2015년 12월 21일 (월) 09:16 판 (개요)
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개요[편집]

  • $X$ : 종수 (genus) 가 g인 컴팩트 리만곡면
  • $L$ : line bundle of degree d
  • \(H^{0}(L),H^{1}(L)\) : $L$의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
    • $p>1$이면, $H^{p}(L)=0$
  • $h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)$
  • 리만-로흐 정리

\[h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1\]

  • 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다
  • 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다

\[h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1\] 여기서 $K$는 $X$에 정의된 canonical bundle

line bundle[편집]

  • divisor $D=p_1+\cdots+p_d$, $p_1,\cdot, p_d$ distinct
  • $L_D$ : line bundle
  • $H^0(L)$ : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the $p_i$
  • $H^0(L^{-1}\otimes K)$ : space of holomorphic 1-forms vanishing at the $p_i$


메모[편집]


리뷰, 에세이, 강의노트[편집]


관련논문[편집]

  • Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025.
  • Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982).