리만 곡면에서의 호지 이론(Hodge theory)

수학노트
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개요

  • X : genus 가 g인 컴팩트 리만곡면
  • \(H^{1}(X;\mathbb{C})\) : 복소 1-form에 대한 드람 코호몰로지, 차원이 2g인 복소벡터공간
  • \(\Omega^{1,0}\) : space of holomorphic differential 1-forms, 차원이 g인 복소벡터공간
  • \(\Omega^{0,1}\) : space of anti-holomorphic differential 1-forms, 차원이 g인 복소벡터공간
  • 호지 분해(Hodge decomposition)

\[H^{1}(X;\mathbb{C})=\Omega^{1,0}\oplus \Omega^{0,1}\]

  • \(\Lambda\) : rank 2g period lattice


에르미트 형식(Hermitian form)

  • \(\Omega^{1,0}\) 에 다음과 같이 정의되는 non-degenerate Hermitian form이 존재한다\[\omega,\eta\in \Omega^{1,0}\] 에 대하여, \((\omega,\eta)=i\int_{X} \omega \wedge \bar{\eta}\)
  • \(dz\wedge d\bar{z}=-2i dx\wedge dy\)
  • 이 에르미트 구조와 호몰로지의 rank 2g 격자가 리만 곡면을 결정


역사



메모

관련된 항목들


수학용어번역

  • Hodge - 발음사전 Forvo
    • 발음은 '하지'에 가깝다


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