리만 곡면 위의 계량 텐서

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2012년 10월 8일 (월) 10:58 판
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개요

  • 리만 곡면에 주어진 메트릭의 국소적 표현

\[ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dz\,d\overline{z}\] 여기서 λ는 양의 값을 갖는 \(z\)와 \(\overline{z}\)의 함수.

  • 메트릭의 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})\)

\[4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})\]


line bundle 에 정의된 에르미트 metric

  • X : 리만 곡면
  • holomorphic line bundle \(H\to X\) 에 대한 에르미트 metric \(e^{-\phi}\)


Fubini-Study metric

  • \(\Omega\) : curvature form
  • Chern class
    \(\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k\)
  • \(c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})\)
  • Chern class of line bundles on complex projective line (the complex tangent bundle of the Riemann sphere)
  • V = TCP1
  • Kahler metric
    \(g=\frac{dzd\bar{z}}{1+|z|^2}\)
  • Curvature form
    \(\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\)
  • \(c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\)
  • \(c_1(V) \not= 0\) 의 증명 ( V 가 trivial vector bundle이 아님에 대한 증명)
    \(\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{\pi}\int \frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\pi}{2}(2\pi)\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2\)


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