리만 세타 함수

개요

아벨-야코비 정리에서 야코비 반전 (jacobi inversion) 문제를 해결하기 위해 도입
지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \operatorname{Im}(\Omega) \text{ positive definite} \right\}$
characteristic $\mathbf{\nu _1}, \mathbf{\nu _2}\in \mathbb{C}^g$에 대하여, 리만세타함수 $\Theta:\mathbb{C}^g\times \mathcal{H}_g\to \mathbb{C}$ 를 다음과 같이 정의

$$ \Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{\nu _1} \\ \mathbf{\nu _2} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega) =\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}} e^{2 \pi i \left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)\Omega \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n} \right)+ \left(\mathbf{\nu _1}+ \mathbf{n}\right)\left(\mathbf{\nu _2}+\mathbf{z}\right)\right)},\, \Omega\in \mathcal{H}_g,\mathbb{z}\in \mathbb{C}^g $$

characteristic이 $\mathbf{\nu _1}=\mathbf{\nu _2}=0$인 경우

$$ \Theta(\mathbf{z},\Omega):=\Theta \left[ \begin{array}{c} \mathbf{0} \\ \mathbf{0} \\ \end{array} \right] (\mathbf{z},\Omega)=\sum_{{\mathbf{n}\in{\mathbb Z}^g}}e^{{2\pi i\left(\frac{1}{2}\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\Omega}\cdot\mathbf{n}+\mathbf{n}\cdot\mathbf{z}\right)}} $$

반주기성(quasi-periodicity)

$\Omega\in \mathcal{H}_g$ 대하여 격자 $\Lambda_{\Omega}=\mathbb{Z}^g+\Omega \mathbb{Z}^g\subset \mathbb{C}^g$를 정의할 수 있다
$\Theta(\mathbf{z},\Omega)$는 $\Lambda_{\Omega}$에 대하여 반주기성을 갖는다

정리

$\mathbf{a},\mathbf{b}\in \mathbb{Z}^g,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g$라 하자. 다음이 성립한다. $$ \Theta (\mathbf{z}+\Omega \mathbf{a}+\mathbf{b},\Omega)=\exp(-\pi i\cdot \mathbf{a}^t \Omega a-2\pi i \mathbf{a}^t\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega) $$

모듈라 성질

지겔 모듈라 군

지겔 모듈라 군 $\Gamma_g:=\operatorname{Sp}(2g,\mathbb{Z})$
행렬 $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \Gamma_g$는 다음의 조건을 만족해야 한다

$$ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_g \end{align} $$

지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\Omega \in \operatorname{Mat}_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \Omega^t=\Omega, \Im \Omega>0 \right\} $$

$\Gamma_g$ 은 $\mathcal{H}_g$에 다음과 같이 작용

$$ \Omega\mapsto \gamma(\Omega)=(A\Omega +B)(C\Omega + D)^{-1} $$

$C\Omega + D$는 가역이고, $\Im{\gamma(\Omega)}>0 $임을 확인

이구사 부분군과 모듈라 성질

이구사 부분군 $\Gamma_{1,2}:=\{\gamma\in \Gamma_g|Q(\gamma \mathbf{x})=Q(\mathbf{x}) \pmod 2\}$, 여기서 $\mathbf{x}=(\mathbf(x_1),\mathbf(x_2))\in \mathbb{Z}^g\times \mathbb{Z}^g=\mathbb{Z}^{2g}$, $Q(\mathbf{x})=\mathbf(x_1)^t \cdot\mathbf(x_2)$
$\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$는 $A^tC, B^tD$의 대각성분이 짝수라는 사실과 동치

정리

이구사 부분군의 원소 $\gamma=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}\in \Gamma_{1,2}$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \Theta \left(((C\Omega + D)^{-1})^t \mathbf{z}, (A\Omega+B)(C\Omega + D)^{-1}\right)=\zeta_{\gamma}\det(C\Omega+D)^{1/2}\exp(\pi i\cdot ^t\mathbf{z}(C\Omega+D)^{-1}C\mathbf{z})\Theta(\mathbf{z},\Omega),\,\mathbf{z}\in \mathbb{C}^g,\Omega\in \mathcal{H}_g $$ 여기서 $\zeta_\gamma$는 $\gamma$에 의존하는 적당한 8-th root of unity

예:자코비 세타함수

자코비 세타함수와 자코비 형식
$g=1$인 경우, $q=e^{2\pi i \tau}$

$$ \begin{align*} \theta_{11}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n+ \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left(n+\frac{1}{2} \right) \, \left( z+\frac{1}{2} \right) } \\ \theta_{10}(z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} \left( n + \frac{1}{2} \right)^2} \, \E^{2 \pi i \left( n+\frac{1}{2} \right) z} \\ \theta_{00} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n z} \\ \theta_{01} (z;\tau) &:= \Theta \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1/2 \\ \end{array} \right](\tau ,z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} q^{\frac{1}{2} n^2} \, \E^{2 \pi i n \left( z+\frac{1}{2} \right) } \end{align*} $$

$\gamma=\left(

\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)\in SL_2(\mathbb{Z})$이고 $ac,bd$가 짝수라 하자. 다음의 모듈라 변환을 만족한다 $$ \theta\left(\frac{z}{c\tau+d},\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\right) = \zeta_{\gamma}(c\tau+d)^{1/2}\exp(\frac{\pi i cz^2}{c\tau+d})\theta(z,\tau) $$

역사

자코비 fundamenta nova
수학사 연표

메모

http://mathoverflow.net/questions/64261/whats-the-difference-between-a-riemann-theta-and-a-siegel-theta-function
Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms
자코비의 네 제곱수 정리
'singular series'
- Dickson
- Mordell
- Hardy
- Bateman

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Gus Schrader, Fay’s Trisecant Identity
Arnaud Beauville Theta functions, old and new
Chai, Riemann's theta function