리치 격자(Leech lattice)

수학노트
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개요

 

 

구성

  • \(\tilde{G}\subseteq \mathbb{F}_{2}^{24}\) 를 [24,12,8] 골레이 코드 (Golay code)  라 하자.
  • quotient map \(\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}\) 으로부터 even unimodular lattice $\Gamma$를 얻는다.

\[\Gamma:=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})\] 

  • homomorphism \(\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}\) 를 다음과 같이 정의하자

\[\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2\]

  • \(A=\alpha^{-1}(0)\) , \(N=\alpha^{-1}(1)\)  로 두면 \(\Gamma=A\cup N\)이다.
  • 리치격자 $\Lambda_{24}$는 다음과 같이 얻어진다

\[\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\]

 

norm 4 벡터

  • 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
  • \((\pm1)^8 0^{16}\)   97152개
  • \((\pm2)^2 0^{22}\) 1104개
  • \((\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}\) 98304개

 

 

세타함수

  • 세타함수는 다음과 같다

$$ \begin{align} \theta_{\Lambda_{24}}(\tau)&=E_{4}^3(\tau)-720\Delta(\tau) \\ &=1+196560 q^2+16773120 q^3+398034000 q^4+4629381120 q^5+\cdots \end{align} $$ 여기서 $q=e^{2\pi i \tau}$, $E_{4}(\tau)$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), $\Delta(\tau)$는 판별식 (discriminant) 함수

 


역사

 

 

 

메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

 

관련도서

  • Ebeling, Wolfgang. Lattices and Codes: A Course Partially Based on Lectures by Friedrich Hirzebruch. 3rd ed. 2013 edition. Wiesbaden: Springer Spektrum, 2012.

관련논문

  • Hoehn, Gerald, and Geoffrey Mason. ‘The 290 Fixed-Point Sublattices of the Leech Lattice’. arXiv:1505.06420 [hep-Th], 24 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.06420.
  • Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. “Notes on Theta Series for Niemeier Lattices.” arXiv:1504.06715 [math], April 25, 2015. http://arxiv.org/abs/1504.06715.
  • Nagaoka, Shoyu, and Sho Takemori. ‘On Theta Series Attached to the Leech Lattice’. arXiv:1412.7606 [math], 24 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7606.