리치 곡률 텐서와 스칼라 (Ricci curvature tensor & scalar)

수학노트
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개요

  • 리치 곡률 텐서 \(\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j\)
  • 리만 곡률 텐서 의 contraction
  • 크리스토펠 기호 를 써서 다음과 같이 표현할 수 있다\[R_{\alpha\beta} = {R^\rho}_{\alpha\rho\beta} =\partial_{\rho}{\Gamma^\rho_{\beta\alpha}} - \partial_{\beta}\Gamma^\rho_{\rho\alpha}+ \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\beta\alpha}- \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}=2 \Gamma^{\rho}_{{\alpha[\beta,\rho]}} +2 \Gamma^\rho_{\lambda [\rho} \Gamma^\lambda_{\beta]\alpha}.\]
  • 리치 곡률 스칼라 S\[S = \mbox{tr}_g\,\operatorname{Ric}.\]\[S = g^{ij}R_{ij} = R^j_j\]



예 : 구면의 리치 곡률 텐서와 스칼라

  • 구면(sphere)
  • 리만 곡률 텐서 는 다음과 같이 주어진다\[\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \\ R_{112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & 0 \\ R_{122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \\ R_{212}^1 & 1 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & -1 \\ R_{222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \\ R_{112}^2 & -\sin ^2(v) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \sin ^2(v) \\ R_{122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \\ R_{212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & 0 \\ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\]
  • 리치 곡률 텐서는 다음과 같다\[\begin{array}{ll} R_{11} & \sin ^2(v) \\ R_{12} & 0 \\ R_{21} & 0 \\ R_{22} & 1 \end{array}\]
  • 리치 스칼라 곡률은 다음과 같다\[S=g^{11}R_{11}+g^{22}R_{22}=\frac{1}{R^2 \sin^2{v}}\sin^{2}v+\frac{1}{R^2}=\frac{2}{R^2}\]



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