"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이
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* 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수 | * 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수 | ||
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<math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자. | <math>\tan \alpha = \frac{1}{5}</math> 를 만족시키는 각도<math>\alpha</math>를 생각하자. | ||
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<math>\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math> | <math>\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}</math> | ||
| − | <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math> | + | 이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다. |
| − | <math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\ | + | 이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자. |
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| + | 탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. | ||
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| + | <math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math> | ||
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| + | <math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta</math> | ||
<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5> | <h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5> | ||
2009년 2월 3일 (화) 19:06 판
간단한 소개
- 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수
\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,
\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)
\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)
이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.
\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
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