"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 31일 (토) 12:51 판

파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨

\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,

\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)

\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)

이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)■

\((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\) 임을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다.

\(4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\)

따라서

\(4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\). ■

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 <h5>복소수의 곱셈을 통한 증명</h5>
+<math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math> 임을 확인하자.
+이로부터, 다음을 얻는다.
+<math>4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi</math>
+따라서
+<math>4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi</math>. ■
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 * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
+<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
+* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+*