마친(Machin)의 공식

파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수
\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)
존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨

\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,

\(\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\)

\(\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\)

이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

\(\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\)

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\)■

\((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\) 임을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다.

\(4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\)

따라서

\(4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\). ■

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