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** <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z}) \iff ad-bc=1</math> | ** <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z}) \iff ad-bc=1</math> | ||
| − | * 복소상반평면에 작용하는 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})</math> 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환 :<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>들이 이루는 군 $\Gamma$을 모듈라 군이라 함. | + | * 복소상반평면에 작용하는 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})</math> 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환 |
| + | :<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>들이 이루는 군 $\Gamma$을 모듈라 군이라 함. | ||
* $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ 로 쓸 수 있음 | * $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ 로 쓸 수 있음 | ||
* http://demonstrations.wolfram.com/TheActionOfTheModularGroupOnTheFundamentalDomain/ | * http://demonstrations.wolfram.com/TheActionOfTheModularGroupOnTheFundamentalDomain/ | ||
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* 모듈라군의 다음 두 원소로 생성됨. | * 모듈라군의 다음 두 원소로 생성됨. | ||
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| + | * 행렬로 표현하면 다음과 같다.:<math>S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> | ||
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** 즉, <math>(2,3,\infty)</math> - 삼각형 두 쌍으로 이루어짐 | ** 즉, <math>(2,3,\infty)</math> - 삼각형 두 쌍으로 이루어짐 | ||
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| − | * <math>(2,3,\infty)</math>- 삼각형이 모듈라군의 presentation <math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle</math> 에 등장하는 숫자와 같음을 볼 수 있음. | + | * <math>(2,3,\infty)</math>- 삼각형이 모듈라군의 presentation <math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle</math> 에 등장하는 숫자와 같음을 볼 수 있음. |
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| − | * <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math | + | * <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}</math> |
** <math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle</math> 과 <math>\bar{S}\bar{T}=\bar{T}\bar{S}</math> 를 이용하여, 다음과 같음을 보일 수 있음. | ** <math>\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle</math> 과 <math>\bar{S}\bar{T}=\bar{T}\bar{S}</math> 를 이용하여, 다음과 같음을 보일 수 있음. | ||
** <math>\{I, \bar{T}, \bar{T}^2, \bar{S}, \bar{S}\bar{T}, \bar{S}\bar{T}^2, -I, -\bar{T}, -\bar{T}^2, -\bar{S}, -\bar{S}\bar{T}, -\bar{S}\bar{T}^2\} </math> | ** <math>\{I, \bar{T}, \bar{T}^2, \bar{S}, \bar{S}\bar{T}, \bar{S}\bar{T}^2, -I, -\bar{T}, -\bar{T}^2, -\bar{S}, -\bar{S}\bar{T}, -\bar{S}\bar{T}^2\} </math> | ||
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<math>\Gamma(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}</math> | <math>\Gamma(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}</math> | ||
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<math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math> | <math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math> | ||
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| − | + | The logo for ICM 2010 depicts the standard fundamental domain for the modular group SL(2,Z) acting on the upper half plane. The formula written along the circular arc is a famous conjecture of the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan proved by Pierre Deligne in 1973. The quotation in Sanskrit at the bottom of the logo is from the Rig Veda an ancient Indian religious work dating back to more than 1000 years before the start of the Christian era. It translates as "May good ideas come to us from everywhere." | |
* http://www.icm2010.org.in/welcome.php | * http://www.icm2010.org.in/welcome.php | ||
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==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/modular_group | * http://en.wikipedia.org/wiki/modular_group | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=modular_group | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=modular_group | ||
2014년 6월 3일 (화) 20:51 판
개요
- \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\)
- 정수계수 \(2\times 2\) 행렬로 행렬식이 1인 원소
- \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z}) \iff ad-bc=1\)
- 복소상반평면에 작용하는 \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\) 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환
\[z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\]들이 이루는 군 $\Gamma$을 모듈라 군이라 함.
- $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ 로 쓸 수 있음
- http://demonstrations.wolfram.com/TheActionOfTheModularGroupOnTheFundamentalDomain/
생성원과 presentation
- 모듈라군의 다음 두 원소로 생성됨.
\[S: z\mapsto -1/z, \quad T: z\mapsto z+1\]
- 행렬로 표현하면 다음과 같다.\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
- presentation 은 다음과 같이 주어짐.\[\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\]
fundamental domain
- 모듈라군에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 아래 그림에서 하얀색과 검은색 삼각형 한쌍으로 구성됨
- 즉, \((2,3,\infty)\) - 삼각형 두 쌍으로 이루어짐
- 다음과 같이 주어짐
\[R = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}\]
- \((2,3,\infty)\)- 삼각형이 모듈라군의 presentation \(\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\) 에 등장하는 숫자와 같음을 볼 수 있음.
- 이에 대해서는 http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_group 참조.
\(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\)의 Abelianization과 숫자 12
- \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
- \(\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\) 과 \(\bar{S}\bar{T}=\bar{T}\bar{S}\) 를 이용하여, 다음과 같음을 보일 수 있음.
- \(\{I, \bar{T}, \bar{T}^2, \bar{S}, \bar{S}\bar{T}, \bar{S}\bar{T}^2, -I, -\bar{T}, -\bar{T}^2, -\bar{S}, -\bar{S}\bar{T}, -\bar{S}\bar{T}^2\} \)
합동 부분군(congruence subgroup)
\(\Gamma(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}\)
\(\Gamma_0(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}\)
\(\Gamma_1(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & {*} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}\)
\(\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\)
2010년 국제수학자대회 로고
The logo for ICM 2010 depicts the standard fundamental domain for the modular group SL(2,Z) acting on the upper half plane. The formula written along the circular arc is a famous conjecture of the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan proved by Pierre Deligne in 1973. The quotation in Sanskrit at the bottom of the logo is from the Rig Veda an ancient Indian religious work dating back to more than 1000 years before the start of the Christian era. It translates as "May good ideas come to us from everywhere."
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