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** <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z}) \iff ad-bc=1</math>
 
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* 복소상반평면에 작용하는 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})</math> 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환
 
* 복소상반평면에 작용하는 <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})</math> 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환
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:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>들이 이루는 군 $\Gamma$을 모듈라 군이라 함.
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:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>들이 이루는 군 <math>\Gamma</math>을 모듈라 군이라 함.
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* $\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ 로 쓸 수 있음
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* <math>\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}</math> 로 쓸 수 있음
 
* http://demonstrations.wolfram.com/TheActionOfTheModularGroupOnTheFundamentalDomain/
 
* http://demonstrations.wolfram.com/TheActionOfTheModularGroupOnTheFundamentalDomain/
  
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==합동 부분군(congruence subgroup)==
 
==합동 부분군(congruence subgroup)==
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<math>\Gamma(N) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}</math>
 
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<math>\Gamma_0(N) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}</math>
 
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<math>\Gamma_1(N) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & {*} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{N} \right\}</math>
 
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<math>\Gamma(2) = \left\{  \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math>
 
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* [[모듈라 군의 합동 부분군(congruence subgroup)]]
 
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==2010년 국제수학자대회 로고==
 
==2010년 국제수학자대회 로고==
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* [[패리 수열(Farey series)]]
 
* [[패리 수열(Farey series)]]
 
* [[쌍곡기하학]]
 
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/modular_group
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/modular_group
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=modular_group
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=modular_group
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==리뷰,에세이, 강의노트==
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* http://www.mathematica-journal.com/2016/05/manipulating-subgroups-of-the-modular-group/
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* Uludag, A. Muhammed. "The Modular Group and its Actions." (2013). http://math.gsu.edu.tr/uludag/kunming.pdf
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==관련논문==
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* Giedrius Alkauskas, The modular group and words in its two generators, arXiv:1512.02596 [math.NT], December 08 2015, http://arxiv.org/abs/1512.02596
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* Alkauskas, Giedrius. “The Modular Group and Words in Its Two Generators.” arXiv:1512.02596 [math], December 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.02596.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q652123 Q652123]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'triangle'}, {'LEMMA': 'group'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:42 기준 최신판

개요

  • \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\)
    • 정수계수 \(2\times 2\) 행렬로 행렬식이 1인 원소
    • \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z}) \iff ad-bc=1\)
  • 복소상반평면에 작용하는 \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\) 의 원소들로 만들어지는 뫼비우스변환

\[z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\]들이 이루는 군 \(\Gamma\)을 모듈라 군이라 함.


생성원과 presentation

  • 모듈라군의 다음 두 원소로 생성됨.

\[S: z\mapsto -1/z, \quad T: z\mapsto z+1\]

  • 행렬로 표현하면 다음과 같다.\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
  • presentation 은 다음과 같이 주어짐.\[\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\]


fundamental domain

  • 모듈라군에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 아래 그림에서 하얀색과 검은색 삼각형 한쌍으로 구성됨
    • 즉, \((2,3,\infty)\) - 삼각형 두 쌍으로 이루어짐
  • 다음과 같이 주어짐

\[R = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}\]



  • \((2,3,\infty)\)- 삼각형이 모듈라군의 presentation \(\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\) 에 등장하는 숫자와 같음을 볼 수 있음.



\(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})\)의 Abelianization과 숫자 12

  • \(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
    • \(\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2, (ST)^3 \rangle\) 과 \(\bar{S}\bar{T}=\bar{T}\bar{S}\) 를 이용하여, 다음과 같음을 보일 수 있음.
    • \(\{I, \bar{T}, \bar{T}^2, \bar{S}, \bar{S}\bar{T}, \bar{S}\bar{T}^2, -I, -\bar{T}, -\bar{T}^2, -\bar{S}, -\bar{S}\bar{T}, -\bar{S}\bar{T}^2\} \)



합동 부분군(congruence subgroup)

2010년 국제수학자대회 로고

3003492-logo.jpg

The logo for ICM 2010 depicts the standard fundamental domain for the modular group SL(2,Z) acting on the upper half plane. The formula written along the circular arc is a famous conjecture of the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan proved by Pierre Deligne in 1973. The quotation in Sanskrit at the bottom of the logo is from the Rig Veda an ancient Indian religious work dating back to more than 1000 years before the start of the Christian era. It translates as "May good ideas come to us from everywhere."


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련된 항목들

수학용어번역

  • modular - 대한수학회 수학용어집


사전 형태의 자료


리뷰,에세이, 강의노트

관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'triangle'}, {'LEMMA': 'group'}]
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