뫼비우스 변환

개요

• 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수를, 또다른 복소수로 보내는 함수
• \(a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0\)일 때, 뫼비우스 변환은 다음과 같이 주어짐

\[f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\]

• 하나의 뫼비우스변환은 \(GL(2,\mathbb{C})\)의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 \(PGL(2,\mathbb{C})\)와 동형인 군이 됨.
• 겹선형(bilinear) 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
• 해석함수로 각도와 방향을 보존함.
• 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
• 리만구면 = 1차원 복소사영공간
• 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
• 교차비를 보존함.
• 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.

• 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

반전 사상과 뫼비우스 변환

• 반전 사상(inversion)
• \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전 사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
• 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전 사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.

한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환

• 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 \(P'\)가 있다.
• 직선 A 위의 점 \(P\)와 \(P'\)를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \(\pi(P)\) 라 하자.
• \(\pi :A \to B\) 를 이와 같이 정의할 수 있다.
• 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.

뫼비우스 변환과 원과 직선

• 직선의 방정식
  • \(ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}\)
  • \(Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=x+iy, B=\frac{a}{2}-\frac{ib}{2}\)
  • 두 표현은 같은 직선의 표현
• 원의 방정식
  • \(|z-z_0|=\rho\)
  • \(z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, B=-z_0, c=|B|^2-\rho^2\)
  • 두 표현은 같은 원의 표현
• 따라서 \(az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R}\) 는 원과 직선의 방정식이 됨.
• 뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.

교차비와 뫼비우스 변환

• 뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\[\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\]

• 교차비를 보존하는 복소함수가 네 점 \(z,z_2,z_3,z_4\)를 \(w,1,0,\infty\)로 보낼 경우, \((z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)\) 로부터 다음의 뫼비우스변환을 유도할 수 있음

\[w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}\]

• 교차비(cross ratio) 항목 참조

세 점

• 사영기하학의 관점에서 \(\{0,1,\infty\}\)의 선택이 좋은 이유
• \(0\) 은 기준점의 역할
• \(1\) 은 단위길이를 결정

The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {z_i} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:

\[(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,\] \[(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,\] \[(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.\]

메모

• 사영기하학과 뫼비우스 변환
• Cross ratio
  • central projection and cross ratio
  • inversion and cross ratio
• Steiner's theorem

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 복소함수론
• 미분기하학
• 3차원 다양체

관련된 항목들

• 케일리 뫼비우스 변환
• 17 Plane Crystallographic groups
• 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)
• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
• 나비정리
• 반전 사상(inversion)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxU3RVaWt6OUJrZ3c/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries
  • A. F. Beardon, The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278

관련논문

• Knibbeler, Vincent, Sara Lombardo, and Jan A. Sanders. “Isotypical Components of Rational Functions.” arXiv:1511.06327 [math-Ph], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06327.

관련도서

• The Geometry of Discrete Groups (Graduate Texts in Mathematics)
  • Alan F. Beardon
• Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint
  • Gareth A. Jones and David Singerman
• Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein
  • Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_transformation

동영상

• Moebius Transformations Revealed
  • Youtube
  • 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
  • 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q595742

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'möbius'}, {'LEMMA': 'transformation'}]