"뫼비우스 변환"의 두 판 사이의 차이

2009년 6월 29일 (월) 23:20 판

복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수
\(\frac{az+b}{cz+d}\)
로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함. (여기서 a,b,c,d는 \(ad-bc \neq 0\) 을 만족시키는 복소수)
뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.

반전사상(inversion)
\(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성.
해석함수가 됨.

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Moebius Transformations Revealed
- Youtube
- 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
- 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
- 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

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-<h5>반전사상</h5>
+<h5>반전사상과 뫼비우스 변환의 관계</h5>
 * [[반전사상(inversion)]]
-* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 는 복소평면 상고전적인 반전사상. 하지만 복소함수로서 해석함수가 되지 않음
+* <math>z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}</math> 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
 * 뫼비우스 변환 <math>z \mapsto \frac{1}{z}</math> 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성.
 * 해석함수가 됨.
+<h5>사영과 뫼비우스 변환</h5>
+* 두 주어진 직선 A,B와 직선들 밖의 주어진 점P가 있다.
+* 이 때, 직선 A 위의 점들을 P를 지나는 직선 위에 있도록 하는 사상을 만들 수 있음.
+* central projection이라 함.