뫼비우스 변환

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 6월 30일 (화) 12:26 판
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간단한 소개
  • 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수

\(f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0\)

로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함. 

  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
  • 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
  • 각도를 보존함.
  • 교차비를 보존함.
  • 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
  • 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

 

 

반전사상과 뫼비우스 변환의 관계
  • 반전사상(inversion)
  • \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
  • 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성.
  • 해석함수가 됨.

 

 

한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환
  • 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 \(P'\)가 있다.
  • 직선 A 위의 점 \(P\)와 \(P'\)를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \(\pi(P)\) 라 하자. 
  •  \(\pi :A \to B\) 를 이와 같이 정의할 수 있다.
  • 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.

 

사영기하학과 뫼비우스 변환

 

 

 

 

메모
  • Cross ratio
    • central projection and cross ratio
    • inversion and cross ratio
  • application to Butterfly

 

 

 

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