무리수와 디오판투스 근사

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.

개요

  • 슬로건
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 잘 되면, 무리수임을 보일 수 있다
    • 어떤 수가 유리수로 근사가 매우 잘 되면, 초월수임을 보일 수 있다


유리수의 성질

  • \(\alpha\)가 유리수라고 하자. 적당한 정수 \(q_0>0\)가 존재하여, 모든 \(p,q>0\in \mathbb{Z}\)에 대하여, 다음 부등식이 성립한다

\[ |\alpha-\frac{p}{q}|\geq \frac{1}{qq_0} \]


디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리) 무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\] 는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조


무리수 판정

  • 모든 n에 대하여, \(\frac{p_n}{q_n}\neq \alpha\), \(q_n>0\)이고,

\[\lim_{n\to \infty}q_n\to \infty\] 인 유리수열 \(\{\frac{p_n}{q_n}\}\)이, 적당한 \(\delta>0\)에 대하여 부등식 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}},\quad n=1,2,\cdots\]을 만족하면, \(\alpha\)는 무리수이다

증명

\(\alpha\)가 유리수이면, \[\liminf_{n\to \infty} |q_n\alpha-p_n|>0\] 이 성립한다. 한편 \[|\alpha-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_n^{1+\delta}} \iff |q_n\alpha-p_n|<\frac{1}{q_n^{\delta}}\] 이고, \(n\to \infty\) 일 때, \(\frac{1}{q_n^{\delta}}\to 0\)이므로 모순.

리우빌 수

정리 (리우빌,1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다


Thue-Siegel-Roth 정리

  • 주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\]

을 만족시키는 유리수 \(p/q\) 의 개수는 유한하다

역사

  • 1844 리우빌
  • 1909 Thue
  • 1921 지겔
  • 1955 Roth (1958년 필즈메달)
  • 수학사 연표



메모

관련된 항목들




사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'diophantine'}, {'LEMMA': 'approximation'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=무리수와_디오판투스_근사&oldid=52291"