무리수와 초월수

수학노트
Wiessen (토론 | 기여)님의 2009년 6월 25일 (목) 19:23 판
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간단한 소개
  • 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
    • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
      \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
    • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
  • 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

 

겔퐁드-슈나이더 정리

If \(\alpha\) and \(\beta\) are algebraic numbers (with \(\alpha \ne 0\) and \(\log \alpha\) any non-zero logarithm of \(\alpha\)), and if \(\beta\) is not a rational number, then any value of \(\alpha^{\beta} =\exp\{\beta \log \alpha\}\)is a transcendental number.

Comments

  • The values of\(\alpha\) and \(\beta\)are not restricted to real numbers; all complex numbers are allowed.
  • In general, \(<math>\alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\}\) is multivalued, where "log" stands for the complex logarithm. This accounts for the phrase "any value of" in the theorem's statement. * An equivalent formulation of the theorem is the following: if \(\alpha\) and \(\gamma\) are nonzero algebraic numbers, and we take any non-zero logarithm of α, then \((\log \gamma)/(\log \alpha)\) is either rational or transcendental. * If the restriction that \(\beta\) be algebraic is removed, the statement does not remain true in general (choose \(\alpha=3\) and \(\beta=\log 2/\log 3\), which is transcendental, then \(\alpha^{\beta}=2\) is algebraic). A characterization of the values for α and β which yield a transcendental αβ is not known.

 

 

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