미분기하학

수학노트
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개요

  • 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
  • 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
  • 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다



선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들



다루는 대상

  • 곡선
  • 곡면


중요한 개념 및 정리



곡면을 이해하는 두 가지 관점

  • 3차원 공간에 놓인 곡면
  • 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
  • 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨



사용되는 언어

  • 텐서 해석학
  • 미분형식



매개화된 곡면

  • \(X(u,v)\)
  • 벡터장
  • \(X_1:=X_u\), \(X_2:=X_v\)



제1기본형식(first fundamental form)과 면적소

  • 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
  • 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
  • 계량 텐서 (metric tensor)라고도 한다
  • 제1기본형식

\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]

  • 면적소\[dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\]
  • 3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다\[g_{ij} : = X_i \cdot X_j\]\[E=g_{11}\], \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]



접속(connection)

  • 방향미분의 일반화
  • 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
  • 다음 성질을 가진다\[\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\]
  • 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다\[\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\]\[A_{ij}= A_{i}^{j}\] 로 두었다
  • 여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴\[\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\]
  • 이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
  • \(F=dA+A\wedge A\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
  • 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
  • 접속(connection) 항목 참조




크리스토펠 기호

  • 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\{1,2\}\)를 정의한다\[\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\]
  • 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\] 즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
  • 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)\[X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\]\[X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\]\[X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\]\[X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\]
  • 제1기본형식을 이용한 표현
  • 크리스토펠 기호 항목 참조



공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선

  • 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨\[\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y\]
  • 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 \(\nabla_{\alpha'(t)}Y=0\) 인 경우, 벡터장 \(Y\)는 곡선 \(\alpha\)를 따라 평행하다고 한다
  • 곡선 \(\alpha : I \to M\)가 \(\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0\)를 만족시키는 경우, 곡선 \(\alpha\)를 이 곡면의 측지선이라 부른다
  • coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))\) 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다\[\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\]
  • 측지선




가우스곡률과 가우스의 정리

  • 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
  • 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
  • 가우스곡률은 \(F=0\)인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다\[K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\]
  • 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
  • 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조
  • 가우스곡률



곡면의 예



역사



메모

  • López, Rafael. “Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski Space.” arXiv:0810.3351 [math], October 18, 2008. http://arxiv.org/abs/0810.3351.

유명한 정리 혹은 재미있는 문제



관련된 항목들


다른 과목과의 관련성


관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • 미분다양체론(differentiable manifolds)
    • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
    • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
  • 리만기하학(Riemannian geometry)
    • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
  • 리군과 Symmetric spaces의 분류




사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

표준적인 교과서

  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.



추천도서 및 보조교재

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