"바일 지표 공식 (Weyl character formula)"의 두 판 사이의 차이
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| − | 여기서 $V_{\lambda'}$는 $V$의 weight space | + | 여기서 $V_{\lambda'}$는 weight $\lambda' \in P$에 대응되는 $V$의 weight space |
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| − | :<math>\chi_{\lambda}=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math | + | :<math>\chi_{\lambda}=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math> |
* 또다른 표현:<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 | * 또다른 표현:<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 | ||
:<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math> | :<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math> | ||
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==함수로 이해하기== | ==함수로 이해하기== | ||
| − | * <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math | + | * <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math> |
| − | * <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math | + | * <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math> |
| − | * <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math | + | * <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math> |
| − | * 예 | + | * 예 |
** <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math> | ** <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math> | ||
| − | ** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math | + | ** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math> |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Verma_module | * http://en.wikipedia.org/wiki/Verma_module | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841. | * Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841. | ||
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2014년 2월 3일 (월) 01:17 판
개요
- \(V=L(\lambda)\) 이면, 캐릭터는 다음과 같이 정의된다
$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 weight $\lambda' \in P$에 대응되는 $V$의 weight space
- 바일의 공식
\[\chi_{\lambda}=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]
- 또다른 표현\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서
\[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]
- denominator 항등식
\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})\]
기호
- P : weight lattice
- W : Weyl group
군론에서의 지표
- $h\in \mathfrak{h}$에 대하여, $e^h$는 리군의 원소로 생각할 수 있다
$$\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}$$ 이로부터 $$\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}$$
함수로 이해하기
- \(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
- \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
- \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
- 예
- \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
- \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)
바일 차원 공식(Weyl dimension formula)
\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]
역사
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- character - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_character_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Verma_module
관련논문
- Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.