"바일 지표 공식 (Weyl character formula)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:54 기준 최신판

개요

유한차원 단순리대수의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다

\[ \chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \] 여기서 \(V_{\lambda'}\)는 weight \(\lambda' \in P\)에 대응되는 \(V\)의 weight space

정리 (바일 지표 공식)

\(\lambda\)를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표는 다음과 같다 \[\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

또다른 표현

\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서 \[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]

denominator 항등식

\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})\]

기호

\(P\) : weight lattice
\(W\) : Weyl group

군론에서의 지표

\(h\in \mathfrak{h}\)에 대하여, \(e^h\)는 리군의 원소로 생각할 수 있다

\[\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}\] 이로부터 \[\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}\]

함수로 이해하기

\(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
\(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
\(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
예
- \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
- \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]

역사

메모

http://mathoverflow.net/questions/51353/on-the-weyl-character-formula

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY0tramVoYjd4NE0/edit

수학용어번역

character - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q7990328

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'weyl'}, {'LOWER': 'character'}, {'LEMMA': 'formula'}]

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 ==개요==
+* 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다
+:<math>
+\chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
+</math>
+여기서 <math>V_{\lambda'}</math>는 weight <math>\lambda' \in P</math>에 대응되는 <math>V</math>의 weight space
+;정리 (바일 지표 공식)
+<math>\lambda</math>를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표는 다음과 같다
+:<math>\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math>
+* 또다른 표현
+:<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서
+:<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>
+*  denominator 항등식
+:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})</math>
+===기호===
+* <math>P</math> : weight lattice
+* <math>W</math> : Weyl group
-* <math>V=L(\lambda)</math> 이면, 캐릭터는 다음과 정의된다
-$$
-\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
-$$
-여기서 $V_{\lambda'}$는 $V$의 weight spaec
-* 바일의 공식
-:<math>\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math><br>
-*  또다른 표현:<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서 <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>, P : weight lattice<br>
-*  denominator identity:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math><br>
+==군론에서의 지표==
+* <math>h\in \mathfrak{h}</math>에 대하여, <math>e^h</math>는 리군의 원소로 생각할 수 있다
+:<math>\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}</math>
+이로부터
+:<math>\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}</math>
 ==함수로 이해하기==
+* <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math>
-* <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math><br>
+* <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math>
-* <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math><br>
+* <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math>
-* <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math><br>
+*  예
-*  예<br>
 ** <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>
-** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math><br>
+** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math>
 ==바일 차원 공식(Weyl dimension formula)==
-* <math>\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math>
 * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]
+:<math>\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math>
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 * [[수학사 연표]]
 ==메모==
+* http://mathoverflow.net/questions/51353/on-the-weyl-character-formula
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 ==관련된 항목들==
+* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
+* [[대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식]]
+* [[리대수 지표의 행렬식 표현]]
+* [[프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY0tramVoYjd4NE0/edit
 ==수학용어번역==
+* {{학술용어집|url=character}}
-*  단어사전<br>
-** http://translate.google.com/#en|ko|
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
-* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==사전 형태의 자료==
-==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
-*
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
-==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_character_formula
-* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Verma_module
-* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
+==관련논문==
+* Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.
+[[분류:리군과 리대수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7990328 Q7990328]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'weyl'}, {'LOWER': 'character'}, {'LEMMA': 'formula'}]