바일 지표 공식 (Weyl character formula)

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개요

$V=L(\lambda)$ 이면,

$ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}$

denominator identity

${\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}$

함수로 이해하기

$\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}$

$A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$

$ $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$

역사

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