바일 지표 공식 (Weyl character formula)

개요

$V=L(\lambda)$ 이면, 캐릭터는 다음과 같이 정의된다

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 weight $\lambda' \in P$에 대응되는 $V$의 weight space

바일의 공식

\[\chi_{\lambda}=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

또다른 표현\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서

\[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]

denominator 항등식

\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})\]

기호

P : weight lattice
W : Weyl group

군론에서의 지표

$h\in \mathfrak{h}$에 대하여, $e^h$는 리군의 원소로 생각할 수 있다

$$\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}$$ 이로부터 $$\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}$$

함수로 이해하기

$e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]$
$\mathfrak{h}$에 정의된 함수로 생각하면, $x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}$
$\mathfrak{h}^{*}$에 정의된 함수로 생각하면, $\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}$
예
- $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$
- ${\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}$

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]

바일 지표 공식 (Weyl character formula)

목차

개요

기호

군론에서의 지표

함수로 이해하기

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

역사

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