"바일 차원 공식(Weyl dimension formula)"의 두 판 사이의 차이
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| + | * <math>A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>로 두자 | ||
| + | * <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다 | ||
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| + | * (\ref{6:Wdenom2})로부터 <math>\lambda\in P^{+}</math>에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다 | ||
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| + | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]]로부터 다음을 얻는다 | ||
| + | :<math>\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.</math> | ||
| + | * <math>k\to \infty</math>일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다 | ||
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| + | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWHQzSFRSQlBEMTQ/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWHQzSFRSQlBEMTQ/edit | ||
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| − | + | [[분류:리군과 리대수]] | |
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2020년 12월 28일 (월) 03:23 기준 최신판
개요
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 로부터 유도됨
- highest weigh이 \(\lambda\)로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다\[\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\] 여기서 \((\cdot | \cdot)\) 는 \(\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}\)에 정의되는 Killing form, \(\rho\) 는 바일 벡터, \(\alpha>0\)는 positive root 를 뜻함
예 \(A_2\)의 fundamental representations
- \(A_2\)의 root system을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
- \(\alpha_3=(1,0,-1)\)
- \(\rho=(1,0,-1)\)
- \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
- \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
- \(V_{\omega_1}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_1}) = \frac{2\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
- \(V_{\omega_2}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
증명
- \(A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\)로 두자
- \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)이 성립한다. 이는 바일 denominator 항등식에서 알 수 있다
\[ {\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}) \]
- 임의의 \(\mu\in P\)에 대하여, 다음이 성립한다
\begin{equation}\label{6:Wdenom2} A_{\mu}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=A_{\rho}\left(\frac{\mu}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\mu|\alpha)}{h^{\vee}+k} \end{equation}
- (\ref{6:Wdenom2})로부터 \(\lambda\in P^{+}\)에 대하여, 다음이 성립함을 알 수 있다
\[A_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda|\alpha)}{h^{\vee}+k}\] \[A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)= \prod_{\alpha>0}(2i)\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}.\]
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula)로부터 다음을 얻는다
\[\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h^{\vee}+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h^{\vee}+k}}.\]
- \(k\to \infty\)일 때의 극한으로부터, 바일 차원 공식을 얻는다
\[\dim(V_\lambda) = \frac{\prod_{\alpha>0}(\lambda+\rho |\alpha)}{\prod_{\alpha>0}(\rho |\alpha)}\]
역사
관련된 항목들