반데몬드 행렬과 행렬식

개요

다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)이라 한다 \[\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}\]
행렬식은 다음과 같이 주어진다 \[\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)\]
행렬식은 교대다항식(alternating polynomial)이다

교대다항식(alternating polynomial)에서 가져옴
자연수의 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여 행렬 \(\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}\) 의 행렬식은 교대다항식이다.
\(\lambda : \lambda_{1}=\cdots = \lambda_{n}= 0\)인 경우, 반데몬드 행렬이 된다
\(n=3\) 의 경우 \[\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\]
\(n=4\)의 경우 \[\left( \begin{array}{cccc} x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\ x_1^{\lambda _2+2} & x_2^{\lambda _2+2} & x_3^{\lambda _2+2} & x_4^{\lambda _2+2} \\ x_1^{\lambda _3+1} & x_2^{\lambda _3+1} & x_3^{\lambda _3+1} & x_4^{\lambda _3+1} \\ x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4} \end{array} \right)\]