반데몬드 행렬과 행렬식

수학노트
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개요[편집]

  • 다음과 같은 행렬을 반데몬드 행렬 (Vandermonde matrix)이라 한다 \[\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\\end{bmatrix}\]
  • 행렬식은 다음과 같이 주어진다 \[\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)\]
  • 행렬식은 교대다항식(alternating polynomial)이다

분할을 통한 일반화[편집]

  • 교대다항식(alternating polynomial)에서 가져옴
  • 자연수의 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여 행렬 $\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}$ 의 행렬식은 교대다항식이다.
  • \(\lambda : \lambda_{1}=\cdots = \lambda_{n}= 0\)인 경우, 반데몬드 행렬이 된다
  • $n=3$ 의 경우 $$\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)$$
  • $n=4$의 경우 $$\left( \begin{array}{cccc} x_1^{\lambda _1+3} & x_2^{\lambda _1+3} & x_3^{\lambda _1+3} & x_4^{\lambda _1+3} \\ x_1^{\lambda _2+2} & x_2^{\lambda _2+2} & x_3^{\lambda _2+2} & x_4^{\lambda _2+2} \\ x_1^{\lambda _3+1} & x_2^{\lambda _3+1} & x_3^{\lambda _3+1} & x_4^{\lambda _3+1} \\ x_1^{\lambda _4} & x_2^{\lambda _4} & x_3^{\lambda _4} & x_4^{\lambda _4} \end{array} \right)$$


역사[편집]



메모[편집]



관련된 항목들[편집]



수학용어번역[편집]



매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]



사전 형태의 자료[편집]


관련논문[편집]

  • Yaacov, Itaï Ben. 2014. “A Multivariate Version of the Vandermonde Determinant Identity.” arXiv:1405.0993 [math], May. http://arxiv.org/abs/1405.0993.