반전 사상(inversion)

개요

• 평면상에 직선이 주어져 있을 때, 평면위의 한 점을 그 직선에 대칭되는 점으로 보낼 수 있음.
• 그에 대응되는 개념으로, 평면상에 원이 하나 주어져 있을때, 점들을 그 원에 대칭인 점들로 보내는 사상을 '반전(inversion)이라 함.
• 두 점 P,P'가 주어진 원에  대해 대칭이라는 조건은 다음과 같이 정의할 수 있음.
  
  • 두 점 P와 P'를 지나는 모든 직선과 원이 주어진 원과 수직으로 만남.
  • 동치조건으로, 원의 반지름이 r 인경우 다음과 같은 조건을 만족시킬 때
    \[OP\cdot OP'=r^2\]
    
• 흥미로운 성질들을 많이 가지고 있음.

 

 

리만구면상에서의 반전사상

• 평면상에서의 반전사상은 복소 리만 구면 상의 회전변환을 통하여 잘 이해할 수 있음.

 

 

반전 사상과 쌍곡기하학

• 반전을 반복할 때 얻을 수 있는 종류의 그림
  파일:1922438-tess2.gif
  
• 반전사상은 원판을 모델로 하는 쌍곡기하학에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상임.
• 따라서 위의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.

 

 

메모

• 위의 그림을 그리기 위한 매쓰매티카 코드
  
  • 코드 해설은 Complex analysis with Mathematica, Chapter 22. 참조
  • hyperbolic_triangles.nb

 

 

관련된 단원

• 평면기하

 

 

관련된 대학 수학

• 복소함수론
  
  • 뫼비우스변환
• 미분기하학
  
  • 반전은 비유클리드기하학의 쌍곡기하학에서 등거리사상.

 

 

 

 

 

 

관련논문

• Circles and Spheres
  
  • G. D. Chakerian, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 11, No. 1 (Jan., 1980), pp. 26-4

 

블로그

• 비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion) (피타고라스의 창)
  
• 비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번… (피타고라스의 창)