배열공간의 강한 무질서 되틀맞춤무리

사실 원래 제목은 더 깁니다. 걍 다 써보면 "Non-equilibrium dynamics of disordered systems: understanding the broad continuum of relevant time scales via a strong-disorder RG in configuration space(무질서 시스템의 비평형 동역학: 배열공간의 강한 무질서 RG를 통해 유효한 시간규모의 넓은 연속성을 이해하기)"입니다. 2008년 <저널 오브 피직스 에이(JPA)>에 실린 논문입니다.

강한 무질서 되틀맞춤무리(SDRG)는 올해 초에 제 블로그에 소개한 적이 있습니다. 그때의 SDRG는 실공간 위에서 적용된 것인데 반해, 오늘 소개할 논문에서는 배열공간(configuration space; 상태공간과 같은 의미)에 대해 SDRG를 적용하고자 합니다. 특히 접촉 과정에서 입자의 복제율, 소멸률이 각 위치(자리)마다 다른 걸 '무질서한 접촉 과정(DCP)'이라 하는데 여기에 실공간 SDRG를 적용한다는 건 복제율이든 소멸률이든 그 중 가장 큰 값을 갖는 '자리'를 골라 없애기를 되풀이하는 방식으로 이루어집니다. (여기서 '골라 없애기'는 영어로 decimation이라는 말을 쓰는데, 한글로 뭐라고 옮길까 하여 다음 사전을 찾아보니 "(특히 고대 로마에서 처벌로서) 열 명에 한 명씩 제비 뽑아 죽이다"라는 뜻이라네요;;;)

이에 반해 배열공간 또는 상태공간에서는 그 상태로부터 다른 상태로 전이하는 전이율의 합인 바깥전이율(exit rate)이 높은 '상태'를 골라 없애는 방식으로 이루어집니다. 우리가 관심을 갖는 건 시간이 충분히 흐르고나서의 동역학이므로 바깥전이율이 높아서 그 상태에 머무르는 시간이 짧은 상태들을 차례로 골라 없애면 된다는 겁니다. 아이디어는 간단하죠.

수식을 이용해서 좀더 자세히 보도록 하겠습니다. 우선 으뜸 방정식을 다음처럼 씁니다.

\(&\frac{dP_t(C)}{dt}=\sum_{C'}P_t(C')W(C'\to C)-P_t(C)W_{out}(C),\\ &W_{out}(C)\equiv\sum_{C'}W(C\to C')\)

바깥전이율 W_out(C)가 최대인 배열 C를 찾고 이걸 C^*라고 부르며 이 상태의 바깥전이율을 W^*_out이라고 합니다. 이 논문에서는 전이의 방향이 양방향이라고 가정하므로, C^*에서 C_i로의 전이율이 0보다 크다면 C_i에서 C^*로의 전이율도 0보다 크다고 가정합니다. C^*를 골라 없애고나면 C^*와 관련된 전이율들을 새로 써야 합니다. C^*와 연관된 두 개의 서로 다른 배열 C_i에서 C_j로의 전이율은 다음처럼 새로 씌어집니다.

\(W^{new}(C_i\to C_j)=W^{old}(C_i\to C_j)+W^{old}(C_i\to C^*)\cdot\frac{W^{old}(C^*\to C_j)}{W^*_{out}}\)

그럼 C_i의 바깥전이율 역시 새로 씌어집니다.

\(&W^{new}_{out}(C_i)=\sum_CW^{new}(C_i\to C)\\ &W^{old}_{out}(C_i)-W^{old}(C_i\to C^*)\cdot\frac{W^{old}(C^*\to C_i)}{W^*_{out}}\)