후르비츠 수 (Hurwitz number)
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개요
- 바이어슈트라스 타원함수 ℘의 로랑급수 전개는 다음과 같다
\[\wp(z;L)=\frac{1}{z^2}+\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)G_{2n}(L)z^{2n-1}\] 여기서 \[G_{2n}(L)=\sum_{\omega\in L\backslash{\{0\}}} \frac{1}{\omega^{2n}}.\]
- \(G_s(L)\)을 격자(또는 대응되는 타원곡선)의 후르비츠 수라고 한다
\(K=Q(\sqrt{-1})\)의 예
- 가우스의 렘니스케이트 상수 \(\omega\)는 다음과 같다
\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.622057554292\cdots\]
- 다음이 성립한다
\[ \sum_{ (m,n)\in \mathbb{Z}^2\backslash\{(0,0)\}} \frac{1}{(mi+n)^{4s}}=G_{4s}\omega^{4s},\,s=1,2,\cdots \] 여기서 \(G_{s}\)는 다음과 같은 상수 \[ \begin{array}{c|cccccccc} s & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 \\ \hline G_s & \frac{1}{15} & \frac{1}{525} & \frac{2}{53625} & \frac{1}{1243125} & \frac{2}{118096875} & \frac{2}{5575415625} & \frac{4}{527240390625} & \frac{223}{1389278429296875} \\ \end{array} \]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Bannai, Kenichi, and Shinichi Kobayashi. “Integral Structures on \(p\)-Adic Fourier Theory.” arXiv:0804.4338 [math], April 28, 2008. http://arxiv.org/abs/0804.4338.
- Katz, Nicholas M. “The Congruences of Clausen — von Staudt and Kummer for Bernoulli-Hurwitz Numbers.” Mathematische Annalen 216, no. 1 (July 1, 1975): 1–4. doi:10.1007/BF02547966.