"베르누이 수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 이름을 베르누이 수로 바꾸었습니다.)
5번째 줄: 5번째 줄:
 
** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수|리만제타함수의 -1에서의 값]]
 
** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수|리만제타함수의 -1에서의 값]]
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
−
 
+
* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
−
 
 
−
 
 
−
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
 
−
 
 
−
 
 
  
 
<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
 
<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
  
−
 
+
*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.<br>
−
 
 
−
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
 
  
 
<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
 
<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
34번째 줄: 27번째 줄:
 
** <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
 
** <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
 
** <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
 
** <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
 +
 +
 
  
 
 
 
 
58번째 줄: 53번째 줄:
 
 
 
 
  
−
 
+
<br>
  
−
<h5>베르누이 다항식</h5>
+
<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
  
−
베르누이 수보다 좀 더 일반적으로, 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.
+
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 +
* [[오일러-맥클로린 공식]]
  
 
 
 
 
  
−
<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
+
<h5>관련된 대학원 과목</h5>
  
 
 
 
 
−
 
−
좀더 자세히 쓰면
 
  
 
 
 
 
  
−
<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
+
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
  
−
여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수
+
* [[오일러수]]
  
 
 
 
 
−
 
−
처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.
 
  
 
 
 
 
  
−
<math>B_0(x)=1</math>
+
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
  
−
<math>B_1(x)=x-1/2</math>
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
  
−
<math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
  
−
<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\</math>
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
  
 
 
 
 
96번째 줄: 93번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<br>
+
<h5>관련논문</h5>
  
−
베르누이 다항식 <math>B_k (x) </math> 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
+
* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br>
−
 
+
** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
−
<math>\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)</math>
+
* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br>
 +
** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
  
 
 
 
 
−
 
−
<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 
−
 
−
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
−
* [[오일러-맥클로린 공식]]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5>관련된 대학원 과목</h5>
 
  
 
 
 
 
117번째 줄: 106번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
+
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
  
−
* [[오일러수]]
+
* 도서내검색<br>
 +
** http://books.google.com/books?q=
 +
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 +
*  도서검색<br>
 +
** http://books.google.com/books?q=
 +
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 +
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  
 
 
 
 
−
 
−
<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
 
−
 
−
* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
  
 
 
 
 
  
−
<h5>위키링크</h5>
+
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
  
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
+
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
+
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=베르누이]
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
+
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
+
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
  
 
 
 
 
141번째 줄: 131번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>참고할만한 자료</h5>
+
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br>
+
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
−
** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
+
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
−
* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br>
+
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
−
** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
 

2009년 12월 22일 (화) 08:35 판

간단한 소개

\(\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

 

{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}

 

 

베르누이 수의 성질
  • \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
    • \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
    • \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
    • \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)

 

 

삼각함수의 급수 표현
  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

 

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

 

쌍곡함수의 급수표현

\(\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\)

\(\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\)

 


관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=베르누이_수&oldid=10672"