베르누이 수

개요

• 베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
  • 정수에서의 리만제타함수의 값
  • 거듭제곱의 합을 구하는 공식
• 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

• 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} $$

베르누이 수의 성질

정리 (폰 슈타우트-클라우센)

정수 $k\in 2\mathbb{Z}_{>0}$에 대하여, 다음이 성립한다 $$B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.$$

따름정리

베르누이 수 \(B_k=\frac{N_k}{D_k}\) (여기서 \(N_k, D_k\)은 서로소)의 분모 \(D_k\)는 \(p-1|k\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어진다.

예

• \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
• \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
• \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)
• 폰 슈타우트-클라우센 정리 항목 참조
• 베르누이 수에 대한 쿰머 합동식

멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

• 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
• 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

$$ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} $$

쌍곡함수의 급수표현

• 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

$$ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} $$

로바체프스키함수

• 로바체프스키와 클라우센 함수\[\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\]

다이감마 함수

• 다이감마 함수(digamma function)\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 거듭제곱의 합을 구하는 공식
• 오일러-맥클로린 공식

관련된 항목들

• 베르누이 수에 대한 쿰머 합동식
• 오일러수
• 정규소수 (regular prime)
• 정수에서의 리만제타함수의 값

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcnNqLXZYbmVMSkE/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function

리뷰, 에세이, 강의노트

• B. Mazur, Bernoulli numbers and the unity of mathematics

관련논문

• Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612.
• Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
• Stirling's Series and Bernoulli Numbers
  • Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
• A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers
  • Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138