베버(Weber) 모듈라 함수

수학노트
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개요

  • 모듈라 함수
  • 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
  • class field theory에서 중요한 역할
  • q-초기하급수의 형태로 표현됨



정의

  • 다음과 같이 세 함수를 정의

\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\] 여기서 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수


모듈라 성질

  • \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
  • \(\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)



항등식

  • 다음의 항등식을 만족한다

\[\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8\]



j-불변량과의 관계

\[\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\] \[\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(\tau)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8 - \mathfrak{f}_ 2(\tau)^8)}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}\]

special values

  • 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
  • \(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2\)
  • \(\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2\)
  • \(\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8\)
  • If \(\tau=\sqrt{-m}\), \(m\equiv 1 \pmod 4\), then \(2^{-1/8}\mathfrak{f}_2(\tau)\) is a unit.



q-초기하급수 표현

\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \] \[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} \]

  • \(z=q\) 인 경우

\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]

  • 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다

\[f(\tau)=q^{-1/48}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-1/2})=q^{-1/48}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q^1)(1-q^2)\cdots(1-q^{n})}\] \[\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]


연분수표현

  • [Duke2005] 154p

\[\mathfrak{f}_2(\tau)={\sqrt{2}q^{1/24} \over 1- } {q \over 1-q+} {q \over 1+q-} {q^3 \over 1-q^3+} \cdots\]


역사



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매스매티카 파일 및 계산 리소스


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