베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리

수학노트
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개요

  • q-series 항등식을 증명하는 중요한 테크닉



베일리 쌍(Bailey pair)

  • 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\]
  • 켤레 베일리 쌍 \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)\[\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\]
  • 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함




왜 베일리 쌍을 공부하나?

  • 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
    • 베일리 보조정리를 이용하는 경우
    • 베일리 쌍의 정의로부터\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\]



베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍의 예

  • 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)\[\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\]\[\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\]\[\delta_n=q^{n^2}\]\[\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\]
  • 아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\]



베일리 보조 정리

  • 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
  • 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 다음 조건을 만족시킨다고 하자

\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}, \gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\]

  • 다음이 성립한다

\[\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\]

  • 다음과 같이 u,v 를 선택한다\[u_{n}=\frac{1}{(q)_n}, v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\], 여기서 \(x=aq\)



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관련논문

  • Jennings-Shaffer, Chris. ‘Exotic Bailey-Slater SPT-Functions III: Bailey Pairs from Groups B, F, G, and J’. arXiv:1504.05120 [math], 20 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.05120.
  • Patkowski, Alexander E. ‘On Some New Bailey Pairs and New Expansions for Some Mock Theta Functions’. arXiv:1502.02470 [math], 9 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.02470.
  • Garvan, Frank, and Chris Jennings-Shaffer. ‘Exotic Bailey-Slater SPT-Functions II: Hecke-Rogers-Type Double Sums and Bailey Pairs From Groups A, C, E’. arXiv:1501.06843 [math], 27 January 2015. http://arxiv.org/abs/1501.06843.