복소로그함수
개요
- 로그 함수의 복소수로의 확장
복소로그함수
복소로그함수는 복소수 \(z = re^{i\theta}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의된다
\(\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)\). 여기서 \(k\in\mathbb{Z}\).
하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다.
예를 들자면, \(z=1=re^{i\cdot 0}\)에 대해서는
\(\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots\)
\(\log(1)\)의 값이 무한대로 많은 것이다. 뭔가 이상하다?
중고등학교에서 '함수'의 개념을 가르칠 때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되어야 한다는 것이다. 그러니 이대로는 복소로그함수는 함수가 아니다!
학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다.
그러나 이러한 방식으로는 이 함수를 어떻게 이해하는 것이 정말로 올바른 것인지 제대로 답할 수 없다.
문제의 원인을 잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원 위에 놓여 나선처럼 놓인 직선이었다.
이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. 그것은 '공역'을 제한하는 것이 아니라 바로 '정의역'을 바꾸는 것이다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다.
복소로그함수 \(\log(z)\)는 복소평면에 있는 복소수 z에 대하여 정의된 함수가 아니라, 다음과 같이 생긴 곡면에 정의된 함수로 보아야 한다.
단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다.
위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 복소로그함수의 올바른 정의역으로 보아야 한다.
1 이라는 복소수를 이 곡면의 한 점으로 볼 것이 아니라, 그냥 1이 있다면, 1에서 시작해서 원점 주변을 한바퀴 돌고 돌아온 또다른 1, 두바퀴 돌때 생기는 1, ... 이렇게 본래의 복소평면에 있는 1에 대응되는 수많은 새로운 1이라는 점들이 이 곡면에 놓여 있는 것이다. 이 곡면을 복소로그함수 \(\log(z)\)의 리만곡면이라고 부른다.
복소로그함수가 사는 곳은 복소평면이 아니라 바로 이렇게 무한히 펼쳐지는 곡면이다.
로그함수와 맴돌이
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